Cayley-Hamilton Teorema – Definició i explicacions

Introducció

En àlgebra lineal, el teorema de Cayley-hamilton (que porta els noms d’Arthur Cayley i William Hamilton Mathematicians) afirma que L’endomorfisme d’un espai vectorial dimensional finit sobre qualsevol cos cancel·la el seu propi polinomi característic (en àlgebra lineal, a qualsevol matriu quadrada o endomorfisme d’un espai vectorial de …).

En termes de matriu, això significa que:

si a és una matriu quadrada de comanda i si

p (x) = = Det (xi-a) = x ^ n + p_ {n-1} x ^ {n-1} + ldots + p_1 x + p_0

és el seu polinomi (un polinomi, en matemàtiques, és la combinació lineal dels productes de …) Característica (polinomi d’indeterminat (en matemàtiques, un indeterminat és el concepte de formalització …) X), després substituint formalment X per la matriu A en el polinomi, el resultat és la matriu zero:

P (a) = A ^ n + p_ {n-1} a ^ {n-1} + ldots + p_1 a + p_0 i_n = 0_n.

Teorema de Cayley-Hamilton (en àlgebra lineal, teorema de Cayley-Hamilton (que porta els noms de …) també s’aplica a matrius quadrades amb coeficients en qualsevol anell commutatiu.

un corol·lari (a El teorema és una proposta que es pot demostrar matemàticament, és a dir …) Important del teorema (un teorema és una proposta que es pot demostrar matemàticament, és a dir …) de Cayley-Hamilton afirma Que el polinomi mínim (polinomi mínim és una eina que li permet utilitzar els resultats de la teoria de …) d’una matriu determinada (en les tecnologies de la informació, una dada és una descripció bàsica, …) és un Divisor (en matemàtiques, un enter D és un divisor d’un enter n quan la divisió …) del seu polinomi característic.

Motivació

Aquest teorema té dues famílies d’ús ION:

  • Això fa possible establir resultats teòrics, per exemple calcular el polinomi característic d’un endomorfisme nilpotent (un endomorfisme nilpotent és un morfisme d’un objecte matemàtic sobre si mateix, que, … .).
  • També permet simplificacions potents en els càlculs de matrius. L’enfocament mínim polinòmic és generalment menys costós que els determinants.

Aquest teorema utilitzat en els articles sobre els polinomis d’endomorfisme, endomorfismes nilpoting, i més generalment en la teoria (la teoria de paraules) Ve de la paraula grega teorein, que significa “contemplar, observar, …) General de les matrius

demostració

Una prova

Sigui quina sigui la matriu s en \ t s) = comp (s) S = Detin. La matriu comp (s) comp (s) és la transposició de la commensió (en àlgebra lineal, l'arribada d'una matriu quadrada A és una matriu introduïda per una. ..) o cofactor matriu Del S. Aquesta relació segueix sent certa si els coeficients de s pertanyen a un anell, ja que no s'ha dividit. Per tant, podem posar S = Xin - A, els coeficients dels quals els seus coeficients t en mathbb {k}

i tenim la relació:

(Xi_n-a) Textrm {compp} (xi_n-a) = det (xi_n-a) i_n = p (x) i_n. (1)

anem (1), escrivint

TEXTRM {COMP} (XI_N-A) = SUM_ {J = 0} ^ {N-1} B_J X ^ J

amb b_j en \ mathcal {m} _n (mathbb {k}) i

p (x) = sum_ {j = 0} ^ n p_jx ^ j.

es pot Desenvolupa el producte (xin – a) comp (xin – a):

(xi_n-a) textrm {compp} ( Xi_n-a) = x ^ {n} b_ {n-1} + sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ i (b_ {i-1} -Ab_ {i}) -Ab_0 (2),

que és idèntic a

Sum_ {J = 0} ^ n x ^ jp_ji_n. (3)

Els polinomis (2) i (3) són iguals. Per tant,

p_ {n} i_n = b_ {n-1}, quad p_ii_n = b_ {i-1} - Ab_ {i}, quad p_0 = -AB_0

Ve un telescopia:

comenceu {align} p (a) = sum_ {j = 0} ^ n a ^ j (p_ji_n) \ = a ^ nb_ {n-1} + Sum_ { i = 1} ^ {n-1} a ^ i (b_ {i-1} -Ab_ {i}) -Ab_0 (SUM_ {i = 1} ^ na ~ ib_ {i-1} - SUM_ {I = 0} ^ {n-1} a ^ {i + 1} b_i \\ = 0 end {align}

Les proves No consisteix en una substitució de X per A en igualtat polinomi, sinó a una identificació dels seus coeficients.

Una variant

També podeu alinear idees abstractes.

Comencem introduint un morfisme d’avaluació adequat per resoldre el problema. Tot (tot entès com un conjunt del que existeix és sovint interpretat com el món o …) Primer, mathbb {k} ser una àlgebra (àlgebra, paraula original àrab -Jabr (الجبر), és la branca …) commutatives a mathbb {k}, tenim un morfisme d’avaluació: mathbb { k} \ thbb {k} (que envia x en A i λ a λin per a qualsevol escalar (un scalar real és un nombre independent de l’elecció de la base escollida per expressar …) λ). Aquest morfisme dels anells commutatius induïts (l’armadura és un òrgan generalment electromagnètic utilitzat en electrotècnia responsable de …) un morfisme d’avaluació sobre els anells de matrius c \ trianglateright d

la matriu amb el terme general coeficient de trànsit cijd. Si el lector coneix el producte de Kronecker de dues matrius, podrà notar que c \ trianglateright d / div> és gairebé el mateix que” src=”https://www.techno-science.net/illustration/Definition/inconnu/9/9e78de201d78d822a2d5e2425ebbb500.png” class=”alignright”> c otimes D </div>
<p> Excepte que <img alt= és una matriu (n, n) els coeficients dels quals són matrius (n, n) while” src=”https://www.techno-science.net/illustration/Definition/inconnu/9/9e78de201d78d822a2d5e2425ebbb500.png” class=”alignright”> c Otimes d

és una matriu (N2, N2). Les següents fórmules contenen, de fet, només dos casos especials d’aquesta operació: productes del formulari i_n trianglateright c és a dir, matrius quadrades amb c a la diagonal (diagonal anomena un polígon Qualsevol segment que connecta dos vèrtexs no consecutius (no …) i des de 0 en altres llocs i un producte un trianglateright i_n c ‘és una variant d’un on la matriu d’Aijin substitueix el Coeficient (en matemàtiques Un coeficient és un factor multiplicatiu que depèn d’un determinat …) AIJ.

Aquesta qualificació es va col·locar, apliqueu el morfisme d’avaluació a la relació:

(xi_n-a), textrm {compp} (xi_n-a) = p (x) i_n.

Obtenim una relació

( i_n trianglateright aa trianglateright i_n), m = i_n trianglateright p (a) qquad (*)

en què m és una certa matriu amb coeficients en Mathbb {k} que no necessitarem (el bes) La cura es troba al nivell de la interacció entre l’individu i el medi ambient. És …) per saber alguna cosa al respecte.

Així que vam escriure una fórmula justa, i hem patit: no hem aturat, l’avaluació de Xin – a per una tècnica rigorosa no proporciona 0, però un estrany coeficient de matriu matricial.

Necessiteu una segona idea per concloure. Consisteix a notar que si mathbb {a} és un anell i e a mathbb a -mòdic a la dreta, per a Tot total r, s, t que podem definir per les fórmules habituals un producte de matriu:

mathcal {m} _ {rs} vegades mathcal {m} _ {st} (mathbb {a}) a \ mathcal {m} _ {{}

Per a la qual tenim associativitat si volem calcular productes de tres termes:

MathCal {M} _ {RS} Times MathCal {M} _ {ST} (mathbb {a}) vegades mathcal {M} _ {TU} (mathbb {a}) Mathcal {M} _ {ru} (e).

Aplicar aquesta idea a e = mathbb {k} ^ n (per puristes a e = mathcal {} _ {n1} (mathbb {k})) que és un mòdul (inclòs la multiplicació (la multiplicació és una de les quatre operacions de l’aritmètica elemental … ) s’escriu espontàniament a l’esquerra, però pot tenir raó si es prefereix, l’anell és commutatiu) a l’anell commutatiu Thbb {a} = mathbb {k} (a), la multiplicació externa és l’aplicació: mathcal {m} _ {n1} (mathbb {k}) Times mathbb {k} (a) definit per (aquest ser, Ser el producte de matriu (el producte Matrix es refereix al producte de matrius, inicialment anomenat la composició ordinària …) de la matriu quadrada B, per la matriu de columna e,).

Multiplidides a l’esquerra La relació (*) pel vector (en matemàtiques, un vector és un element d’un espai vectorial, Que permet …) línia Comenceu {pmatrix} e_1 cdotrix_n end {pmatrix} on (e_1, _n) Es refereix a la base canònica (en un espai vectorial, una base canònica és una base que es presenta …) de mathbb {k} ^ n: utilitzant el expressió correcta a (*) obtenim la línia vector .

Si ara utilitzem l’expressió esquerra en (*) i els parèntesis es mouen per l’associativitat de la multiplicació de matriu lleugerament inusual que es descriu anteriorment, és necessari calcular el producte:

Comenceu {pmatrix} e_1 ldotrix_n end {pmatrix} (i_n trianglateright aa trianglateright i_n).

Per a cada índex j, només podem veure que el seu component J-t Val la pena: AE_J- SUM_ {I = 1} ^ n (a_ {ij} i_n) e_i = AE_J- SUM_ {i = 1} ^ na_ {ij} e_i = 0.

Multiplicant aquest dret per la matriu inofensiva M i comparant les dues expressions del producte, conclou que per a qualsevol índex J, P (a) ej = 0.

i així p (a) = 0.

Observacions addicionals sobre la demostració

Les proves que s’han donat evita la substitució de X per una matriu en un context (el context d’un esdeveniment inclou les circumstàncies i les condicions que l’envolta; …) no commutatives, però les manipulacions realitzades encara estan a prop d’aquesta idea: l’equació (en matemàtiques, una equació és la igualtat que uneix diferents quantitats, normalment …) en components segons els poders De X, s’ha multiplicat a l’esquerra per AJ el component que estava en factor de XJ, i hem afegit qualsevol conjunt (en teoria dels conjunts, un conjunt denota intuïtivament una col·lecció …). De fet, es va utilitzar l’operació Eva definida en (5), sense suposar que és un anell homomorfisme, de mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) en {m} _n (mathbb {k}). Operació EVA és una avaluació esquerra, ja que la multiplicació per part de l’escalar X indeterminada és substituïda per la multiplicació a l’esquerra per A.

Una altra observació (l’observació és l’acció de seguiment atent dels fenòmens , sense voluntat del …) és important: la forma exacta del Polinomi Comp (Xin – a) no importa. Així que hi ha alguna cosa per explotar aquí, allò que no va deixar de fer amb els matemàtics.

Sigui m un anell no commutatiu; Es pot definir una divisió euclidiana (en matemàtiques, i més precisament en aritmètica, la divisió euclidiana …) d’un polinomi p en m per un polinomi monique b. És un polinomi el coeficient del qual de grau superior (la paraula grau té diversos significats, que és especialment ocupat en els camps …) és una unitat de m, és a dir, un element de m que té una inversa ( En matemàtiques, el contrari d’un element X d’un conjunt amb una llei de …) a M. Més específicament, hi ha dos polinomis q, r en m, amb r de grau estrictament inferior al grau de B, com ara

p = bq + r.

La demostració és totalment similar a la del cas escalar. Si b = xin – a, llavors, la resta és de grau 0, i per tant idèntic a una constant pertanyent al senyor, però en aquest cas, en el raonament exactament com en la demostració del teorema de Cayley-Hamilton, arribem a la conclusió

Eva (p) = R.

Segueix que Eva (P) és zero si i només si p és divisible a l’esquerra per xin – a.

La demostració del teorema Cayley -Hamilton també dóna a altres informacions: el polinomi comp (xin – a) és el quocient de l’esquerra de p (x) per tin – A. com p (x) i xin – un pertanyen a l’anell submarí K, la divisió (la divisió és una llei de composició que en dos números combina el producte des de la primera per …) a l’esquerra va completament en aquest sub-anell, de manera que és una divisió ordinària. En particular, els coeficients de matriu comptes (Xin – a) són combinacions lineals de poders d’A. En altres paraules, la matriu complementària d’una matriu A és un polinomi A, el que no és fàcil de deduir directament de la definició (una definició és Un discurs que diu què és una cosa o el que significa un nom. D’aquí el …) d’una matriu complementària. Millor, es pot calcular explícitament els seus coeficients de les de la característica polinomi P (x), ja que és fer una divisió euclidiana ordinària, i trobem

Textrm {comp (- A)} = Sum_ {j = 1} ^ n p_ja ^ {j-1}.

També podríem haver obtingut aquesta relació directament des del teorema de Cayley-hamilton, en virtut de la identitat

p_0i_n = det (-a) i_n = -a cdot \ textrm {comp} (- a) = textrm {compp} (- a) cdot-a .

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *