Establiment acabat

Diverses característiques de Setsmodificador acabat

enters i comandesModificador

Si reprenem la definició d’acabats junts en la teoria de Estableix des d’un punt de vista més axiomàtic, es basa en la definició que es dóna enters. A la teoria de Zermelo o a Zermelo-Fraenkel, tots els números naturals, van assenyalar ω, és el conjunt més petit al qual pertany 0 i tancat per successor, on 0 és el conjunt buit i el successor d’un conjunt X és el conjunt obtingut afegint x com a element : El successor de X és x ∪ {x}. Es demostra que tots els enters naturals estiguin ben ordenats per membres (com a ordre estricte) i, per tant, els seus elements, que també són subconjunts, també són. L’ordre ampli corresponent és la inclusió incrustada.

Article detallat: Axioma infinit.

Una caracterització més directa, i que no requereix l’axioma infinit , és definir els enters com els ordenadors acabats:

un ordinal s’acaba quan qualsevol ordinal no zero que sigui inferior o igual que tingui un predecessor

o, que és equivalent a qualsevol part no buida D’aquest ordinal admet un element més gran, és a dir:

un ordinal s’acaba quan és un bon ordre contrari.

Anem a trucar als enters de von Neumann els ordenos acabats. En presència de l’axioma infinit (ja a la teoria de Zermelo), són els elements de ω.

Qualsevol conjunt finit, és a dir en biyecció amb un enter de von Neumann, està equipat, transferint-se L’ordre per la bijecció, d’un bon ordre, el contrari és un bon ordre. Per contra, qualsevol conjunt amb tal ordre ha acabat, ja que tot el bon ordre és isomorf a un ordinal. Per tant:

Un conjunt s’acaba si i només si hi ha un bon ordre en aquest que l’ordre contrari és també un bon ordre.

Totes les comandes totals en un conjunt finit queden isomorfs, deduïm:

un conjunt ben ordenat s’acaba si i només si l’ordre contrari és també un bon ordre.

Tarski i russell-whiteheadmodifier Definicions

Alfred Taarski va donar el 1924 una definició de conjunts finits (recuperats en algunes estructures més recents) que no es refereix a una definició prèvia de nombres enters i que equival a la precedència En una teoria dels conjunts sense l’axioma de l’elecció:

un conjunt electrònic s’acaba en el sentit de Tarski quan qualsevol família no buida de parts d’E admet un element mínim per a la inclusió,

o (movent-se a complementaris) ) Quan qualsevol família no buida de parts d’E admet un element màxim per a la inclusió.

Aquesta definició és equivalent a una caracterització inductiva dels conjunts finits, donat per Russell i Whitehead en volum II (1912) de El Principia Mathematica,:

Un conjunt E està acabat (en el sentit de Russell i Whitehead) quan e pertany a qualsevol família s de les parts de E que comprova les dues condicions:

  • ∅ ∈ s (El conjunt buit pertany a S);
  • si és ∈ s i x ∈ e, a continuació, a ∪ {x} ∈ s (si a pertany a s, qualsevol part obtinguda afegint un element de e a a a un també pertany a s).

mostrem L’equivalència entre les tres definicions va acabar les dades globals: en bijecció amb un enter de von Neumann, va acabar en el sentit de Tarski, va acabar en el sentit de Russell-Whitehead, i això en una teoria de fixació feble (teoria de Zermelo sense l’axioma de l’infinit ), especialment sense l’axioma d’elecció.

prova de l’equivalència entre les tres definicions

Div ID = “0778173646”>

Primer espectacle, per recurrència, que qualsevol conjunt de von Neumann N – així també qualsevol conjunt en bijecció amb N – no és més en el sentit de Taarski. El sencer 0 (el conjunt buit) és, òbviament, a Tarski. Suposem ara que n = m ∪ {m} amb m va acabar a Taarski, i siguem una família de ns de n. Tingueu en compte la subfamília que consisteix en les parts de M que pertanyen a S, i S “La família de les parts E de M tal que e ∪ {M} pertany a S. si S no està buida llavors S ‘o S” no buit. En el primer cas, admet un element mínim, que també és mínim en S. en el segon cas, admet un element mínim E, i E ∪ {M} és un element mínim de s.

anem Mostra ara que si E EE està acabat a Tarski, llavors E s’acaba en el sentit de Russell-Whitehead. Siguem una part d’E verificar les dues condicions de Russell-Whitehead. Com ∅ ∈ S, S no és buit; Per tant, té un element màxim I. Segons la segona condició de Russell-Whitehead, i = e, és a dir que e pertany a S.

Finalment, per a qualsevol conjunt e, el conjunt s de les parts acabades de e (les seves parts equipotents a un enter de von neumann) satisfà les dues condicions de Russell-Whitehead, de manera que si e ha acabat en el Sentit de Russell-Whitehead llavors és equipable en un enter de von Neumann.

Definició de Dedekindmodificador

Un conjunt E es diu Infinite a Dedekind (en) Si no pot ser bici amb una de les seves parts netes (o: qualsevol injecció d’E en si mateixa és surjectiva). Dedekind és el primer a donar una definició de conjunts infinits, el 1888 va ser Sind Die Zahlen, i cal prendre el principi dels calaixos de Dirichlet com a caracterització de conjunts finits.

si e ha acabat (in El significat anteriorment utilitzat), llavors E s’acaba en Dedekind, però el recíproc requereix un axioma addicional (més feble mentre l’axioma de l’elecció comptable).

Les propietats de la tanca des del punt de vista dels axiomes de La teoria de Setsmodifier

Es pot reinterpretar i ampliar les propietats de clausura dels conjunts finits a la vista dels axiomes de la teoria dels conjunts. Per obtenir propietats realment satisfactoris, cal tenir en compte la classe de conjunts hereditàriament acabats, és a dir, que els conjunts que no només estan acabats, però els elements també són els conjunts acabats i així successivament.

El primer axiomesmodir

A més de l’axioma de l’extensió i l’axioma de la fundació, els axiomes de la teoria dels conjunts ZFC es poden interpretar com a propietats d’existència de conjunts o tanca sota certes construccions.

Els conjunts acabats satisfacinen El diagrama d’axiomes de comprensió, ja que es va acabar qualsevol subconjunt d’un conjunt finit (especialment el conjunt buit), l’axioma de la parella, ja que es va acabar un parell de dos conjunts, l’axioma de totes les parts, com es veu anteriorment, Però no l’axioma de la reunió, ja que no hi ha cap raó que els elements d’un conjunt finit són conjunts finits. Si aquesta condició està satisfeta, hem vist que l’axioma es realitza.

El diagrama de substitució

La imatge d’un conjunt finit per una classe funcional és un conjunt finit: aquesta és la versió Per als conjunts acabats de l’esquema Axioma de substitució. Té la conseqüència que la classe funcional en qüestió és una funció, i hem vist que ha acabat la imatge d’un conjunt finit per un conjunt finit. No obstant això, en el cas dels conjunts acabats, l’esquema de substitució no afegeix res. Es pot demostrar directament, utilitzant l’axioma de la parella i la reunió, que la classe funcional està acabada i, per tant, l’esquema de substitució és superflu (també pren l’esquema de la comprensió).

l’axioma de Choicemodifier

Tenint en compte un conjunt finit e = {A1 …, un} de conjunts no buits, una funció d’elecció f en e associats amb un element AI és una funció de gràfic finita. L’existència d’una funció d’elecció per a un conjunt finit es demostra sense utilitzar l’axioma d’elecció. La funció es defineix mitjançant la recurrència, utilitzant cada pas que l’element de e en joc és un conjunt no buit. És necessari assumir que el conjunt en què es defineix la funció de selecció és finita.

D’altra banda, no es pot fer sense l’axioma preferit per obtenir una funció d’elecció en un conjunt infinit Fins i tot si consisteix només en conjunts acabats.

Els conjunts acabats hereditàriament

Els conjunts establerts heregats són els conjunts no només acabats, però els elements dels quals són ells mateixos. Fins i tot acabats, etc. Més formalment, en la teoria dels conjunts zermelo-freakel, la classe de conjunts acabats heritteralment és la classe més petita que conté el conjunt buit i tancat per transició a totes les parts. Es demostra que és un conjunt utilitzant l’axioma infinit i l’esquema de substitució. Observem Vω, és el nivell ω de la jerarquia de von Neumann, més precisament:

  • v0 = Ø
  • vn + 1 = p (vn)
  • Vω = ∪n ∈ n vn.

El nombre enter de von Neumann n pertany a vn + 1, per tant, es van acabar els enters de von Neumann. El Vω en general de l’acabat hereditàriament és comptable, dins del significat de la teoria, és a dir, que es mostra l’existència d’una bijectòria entre Vω i ω.

Es demostra que, en un Model de ZF, Vω amb la pertinença del model restringit a Vω és un model de tots els axiomes ZF excepte l’axioma de l’infinit. Això no és demostrable d’altres axiomes ZF.

Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *