Cantore teorema – definizione e spiegazioni

Il teorema del cantore è un teorema matematico, nel campo della teoria dei set, che deve il suo nome al matematico Georg Cantor.

Cantor dimostra che, per qualsiasi set E, il cardinale di E è sempre più basso rispetto al cardinale di \ Mathfrak P (E) insieme (in serie Set , un set denota intuitivamente una collezione …) Parti di E.

Quando E è un set finito (in matematica, viene detto un set E è rifinito se e solo se c’è un numero intero e A. ..), il risultato è ovvio perché il cardinale de e è il numero (la nozione di numero linguistico è trattato nell’articolo “numero …) di elementi in E e, se E contiene N elementi, è dimostrato che tutto Parti di E contiene 2N elementi. È quindi facile controllarlo, per tutto (tutto compreso come un insieme di ciò che esiste è spesso interpretato come il mondo o …) intero n, n n n.

Quando E è un set infinito (in matematica, un set è infinito se non è finito, è- Contiene un …), è necessario iniziare il confronto dei cardinali.

\ mathrm {card} (A) \ leq \ mathrm {card} (B) Se e solo se, c’è un’iniezione (la parola iniezione può avere diversi significati 🙂 da A a B.

Cantore dimostra che mediante ragionamento con l’assurdo: presuppone che \ mathrm {card} (e) \ geq \ mathrm {card} (\ Mathfrak P (E)), quindi c’è un’iniezione di \ Mathfrak P (e) verso E e arriva ad una contraddizione (esiste una contraddizione quando due affermazioni, Le idee o le azioni sono reciprocamente esclusive.).

chiamiamo f questa iniezione. Costruiamo quindi un sottoinsieme (in matematica, un set A è un sottoinsieme o una parte di un set B, o …) B di E come segue: Lascia che X sia un elemento di E,

  • se x ha Nessun antecedente da F quindi x non è in B
  • se x ha una cronologia da F, è unica perché F è iniettivo. Questa ascia antecedente è notata. Se x appartiene ad AX quindi X non è in B, se X non appartiene all’AX, X è in b.

b è una parte di E, e quindi ha un’immagine di F, che è un’immagine chiamato. La domanda è: “C’è o non un elemento di B?”. C’è per Antecedent B. Se c’è in B allora, costruendo B, Y non appartiene al suo antecedente quindi non è appartenente a … B se non c’è in B, sempre secondo la costruzione di B, lì Deve appartenere al suo antecedente, quindi appartiene a … B Entrambe le ipotesi portano a una contraddizione in modo da non poter esistere in iniezione di \ Mathfrak P (E) verso E

Questo tipo di ragionamento, che si chiama argomento diagonale (nelle prove matematiche, in particolare quelle della logica matematica, l’argomento diagonale è …), è stato utilizzato da Russell (e Zermelo) per il paradosso (un paradosso è una proposta che contiene o sembra contenere una contraddizione logica, o un …) di tutti i set che non appartengono.

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