Conjunto terminado

Varias características de los ajustes terminados

enteros y órdenes secundario

Si reanudamos la definición de terminados juntos en la teoría de Conjuntos desde un punto de vista más axiomático, se basa en la definición que se administra enteros. En la teoría de Zermelo o Zermelo-Fraenkel, todos los números naturales, señalados, es el conjunto más pequeño al que pertenece 0 y cerrado por sucesor, donde 0 es el conjunto vacío y el sucesor de un conjunto X es el conjunto obtenido agregando x como elemento : El sucesor de x es x ∪ {x}. Se muestra que todos los enteros naturales están bien ordenados por la membresía (como orden estricta), y por lo tanto sus elementos, que también son subconjuntos, también. El orden amplio correspondiente es la inclusión incrustada.

detallada Artículo: Infinity Axiom.

Una caracterización más directa, y que no requiere el axioma infinito , es definir los enteros como los ordenadores terminados:

Se termina un ordinal cuando cualquier ordinal no cero que es menor o igual que tiene un predecesor

o, que es equivalente cuando cualquier parte no vacía De esta ordinal admite un elemento más grande, en otras palabras:

Se termina un ordinal cuando su orden opuesto es un buen orden.

Llamaremos en los enteros de Von Neumann, las Ordenadas terminaron. En presencia del axioma infinito (ya en la teoría de Zermelo), son los elementos de Ω.

Cualquier conjunto finito, es decir, en la biyección con un entero de Von Neumann, está equipado, transfiriendo El orden por la biyección, de un buen orden cuyo opuesto es un buen orden. Por el contrario, cualquier conjunto con tal orden está terminado, porque todo el buen orden es isomorfo a un ordinal. Por lo tanto:

Se termina un conjunto si y solo si hay un buen orden en este, cuyo orden opuesto también es un buen orden.

Todos los pedidos totales en un conjunto finito son isomorfos, deducimos:

Se termina un conjunto bien ordenado si y solo si el orden opuesto también es un buen orden.

Tarski y Russell-WhiteShIrtHIERDIONES DE DEFINICIONES

Alfred Taarski dio en 1924 una definición de conjuntos finitos (recuperados en algunas estructuras más nuevas) que no se refiere a una definición previa de enteros y que es equivalente a los precedentes En una teoría de los conjuntos sin axioma de elección:

Se termina un conjunto E en el sentido de Tarski cuando cualquier familia de partes no vacías de E admite un elemento mínimo para la inclusión,

o (moviéndose a complementaria ) Cuando cualquier familia no vacía de partes de E admite un elemento máximo para la inclusión.

Esta definición es equivalente a una caracterización inductiva de los conjuntos finitos, dado por Russell y Whitehead en el volumen II (1912) de El Principia Mathematica,:

Se terminó un conjunto E (en el sentido de Russell y Whitehead) cuando E pertenece a cualquier familia de las partes de E que verifica las dos condiciones:

  • ∅ ∈ s (El conjunto vacío pertenece a S);
  • si un ∈ s y x ∈ e, luego un ∪ {x} ∈ s (si A pertenece a S, cualquier parte obtenida al agregar un elemento de E a A también pertenece a S).

Nos mostramos La equivalencia entre las tres definiciones terminó los datos generales: en la biyección con un entero de Von Neumann, terminó en el sentido de Tarski, terminó en el sentido de Russell-Whitehead, y esto en una teoría de los débiles (teoría de Zermelo sin el Axioma del Infinito ), especialmente sin el axioma de elección.

de la equivalencia entre las tres definiciones

Permítanos mostrarnos primero, por recurrencia, que todo parte de Von Neumann N, así que también cualquier conjunto de biyectio con N, no es más en el sentido de Taarski. El entero 0 (el conjunto vacío) obviamente se termina en Tarski. Supongamos que ahora que n = m ∪ {m} con m terminado en Taarski, y seamos una familia de NS de n. Tenga en cuenta la subfamilia que consiste en las partes de M que pertenecen a S, y S «La familia de las partes E de M de tal que E ∪ {M} pertenece a S. si S no está vacía, entonces S ‘o S» no es vacío. En el primer caso, admite un elemento mínimo, que también es mínimo en S. En el segundo caso, admite un elemento mínimo E, y E ∪ {M} es un elemento mínimo de s.

vamos Muestre ahora que si E se termina en Tarski, entonces E se termina en el sentido de Russell-Whitehead. Sea una parte de E verificar las dos condiciones de Russell-Whitehead. Como ∅ s, s, no está vacío; por lo tanto tiene un elemento máximo I. De acuerdo con la segunda condición de Russell-Whitehead, i = e, es decir, que E pertenece a S.

Finalmente, para cualquier conjunto E, el conjunto S de las partes terminadas de E (sus partes equipotentes en un entero de Von Neumann) satisfacen las dos condiciones de Russell-Whitehead, por lo que si E se termina en el sentido de Russell-Whitehead entonces es equiptable en un número entero de von Neumann.

Definición de dedekindmodifier

Un conjunto E se dice infinito en DEDEKIND (EN) si no puede ser bicicleta con una de sus partes limpias (o: cualquier inyección de E en sí misma es Surjetivo). DEDEKIND es el primero en dar una definición de conjuntos infinitos, en 1888 en el Sind Die Zahlen, y es necesario tomar el principio de los cajones de Dirichlets como caracterización de conjuntos finitos.

Si está terminado (en El significado se usó previamente), entonces E se termina en DEDEKIND, pero el recíproco requiere un axioma adicional (más débil mientras que el axioma de la elección contable).

Las propiedades de la cerca desde el punto de vista de los axiomas de los axiomas de La teoría del setsmodifier

Puede reinterpretarse y ampliar las propiedades de cierre de los conjuntos finitos en la vista de los axiomas de la teoría de los conjuntos. Para obtener propiedades realmente satisfactorias, la clase de conjuntos heredicios terminados debe considerarse, es decir, los conjuntos que no solo están terminados, sino que cuyos elementos también están terminados con los conjuntos y así sucesivamente.

el primer axiomesmodir

Aparte de la axioma de extensión y el axioma de la Fundación, los axiomas de la teoría de los conjuntos de ZFC se pueden interpretar como propiedades de existencia de los conjuntos, o cerca debajo de ciertas construcciones.

Los conjuntos terminados satisfacen El diagrama de axiomas de la comprensión, ya que se termina cualquier subconjunto de un conjunto finito (especialmente el conjunto vacío), axioma l ‘del par, ya que un par de dos conjuntos se termina, el axioma de todas las partes, como se ve arriba, Pero no el axioma de la reunión, ya que no hay razón para que los elementos de un conjunto finito sean conjuntos finitos. Si se satisface esta condición, hemos visto que el axioma se realiza.

El diagrama de reemplazo

La imagen de un conjunto finito por una clase funcional es un conjunto finito: esta es la versión Para los conjuntos terminados del esquema de reemplazo axioma. Tiene la consecuencia de que la clase funcional en cuestión es una función, y hemos visto que la imagen de un conjunto finito por un conjunto finito está terminado. Sin embargo, en el caso de los conjuntos terminados, el esquema de reemplazo no agrega nada. Se puede demostrar directamente, utilizando el axioma de la pareja y la reunión, que la clase funcional está terminada y, por lo tanto, el esquema de reemplazo es superfluo (también toma el esquema de la comprensión).

el axioma de CHOICEMODIFIER

Dado un conjunto finito E = {A1 …, A} de conjuntos no vacíos, una función de la opción F en los asociados con un elemento AI es una función de gráfico finito. La existencia de una función de elección para un conjunto finito se demuestra sin usar el axioma de elección. La función se define por la recurrencia, utilizando cada paso que el elemento de E en juego es un conjunto no vacío. Solo es necesario asumir que el conjunto en el que se establece la función de elección está finita.

Por otro lado, uno no puede hacer sin el axioma de elección para obtener una función de elección en un conjunto infinito Incluso si consiste solo en conjuntos terminados.

Los conjuntos hereditadamente terminados

Los conjuntos heredardos terminados son conjuntos no solo terminados, sino que los elementos son ellos mismos. Incluso terminó, y así sucesivamente. Más formalmente, en la teoría de los conjuntos de Zermelo-Freakel, la clase de conjuntos heriditariamente terminados es la clase más pequeña que contiene el conjunto vacío y se cerró por transición a todas las partes. Se muestra que es un conjunto con el axioma infinito y el esquema de reemplazo. Notamos VΩ, es el nivel Ω de la jerarquía de Von Neumann, más precisamente:

  • v0 = Ø
  • vn + 1 = p (vn)
  • vω = ∪n ∈ n vn.

El entero de Von Neumann N pertenece a VN + 1, los enteros de Von Neumann están, por lo tanto, están heredalmente terminados. El VΩ general de los terminados hereditadamente es contable, dentro del significado de la teoría, es decir, que uno muestra la existencia de una biyección entre VΩ y ω.

Se muestra que, en una El modelo de ZF, VΩ con la pertenencia del modelo restringido a VΩ es un modelo de todos los axiomas ZF, excepto el axioma del infinito. Esto no es demostrable de otros axiomas ZF.

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