Estructuras de MN, P (K)

Una pregunta surge inmediatamente: el espacio vectorial \ (\ mathcal m_ {n, p} (\ mathbf k) \) es de tipo finito? La respuesta se dará a continuación.

Enfrentaremos el problema al tratar de determinar una familia generadora de la familia \ (\ mathcal m_ {n, p} (\ mathbf k) \).

Consideramos el siguiente ejemplo: ya sea

\ (\ mathcal a = \ \ \ begin {array} {ccccc} 1 &&& 3 \ end {array} \ derecha) \)

en \ (\ mathcal m_ {2,3} (\ mathbf r) \), podemos escribir \ (\ mathcal a \) naturalmente en el siguiente formulario:

\ (\ \ \ Begin {array} {cccccc} 1 &&& 3 \ end {array} \ derecha) = \ Izquierda (\ comienzan {array} {cccccc} 1 && 0 \ FIN {Array} \ Derecha) + \ Izquierda (\ comienzan {array} {cccccc} 0 && 0 \ End {Array} \ Derecha ) +3 \ izquierda (\ comienzan {array} {cccccc} 0 &&&& 0 \ FIN {Array} \ Derecha) + \ Izquierda (\ Comenzar {Array} {CCCCC} 0 &&& 0 \ Fin {Array } \ Derecha) +3 \ izquierda (\ comienzan {array} {ccccc} 0 &&&& 1 \ final {array} \ derecha) \)

Si analizamos esta escritura, observamos que el MATRIX \ (\ MATHCAL A \) es una combinación lineal de las matrices tipo \ (2 \ Times3 \) cuyos elementos son cero, excepto uno, igual a \ (1 \); Este elemento distinto de cero toma todas las posiciones posibles; Aquí hay posibilidades de \ (6 \).

De hecho, este es un resultado general, declarado en el siguiente teorema.

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