Teorema de Cayley-Hamilton – Definición y explicaciones

Introducción

En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva el nombre de Arthur Cayley y William Hamilton matemáticos) afirma que cualquier endomorphism de un espacio vectorial de dimensión finita en cualquier cuerpo cancela su propio polinomio característico (en álgebra lineal, a cualquier matriz cuadrada o endomorphism de un espacio vectorial de …).

en términos de matriz, esto significa que:

Si a es una matriz cuadrada orden y si

p (x) = = \ det (xi-a) = x ^ n + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + p_1 x + p_0

es su polinomio (un polinomio, en matemáticas, es la combinación lineal de los productos de …) característica (polinomio de indeterminada (en matemáticas, un indeterminado es el concepto para formalizar …) x), entonces formalmente sustituyendo x por la matriz a en el polinomio, el resultado es la matriz cero:

p (a) = a ^ n + p_ {n-1} a ^ {n-1} + \ ldots + p_1 a + p_0 i_n = 0_n \;.

teorema de Cayley-Hamilton (en álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de …) también se aplica a matrices cuadradas con coeficientes en cualquier anillo conmutativo.

un corolario (una teorema es una propuesta que puede demostrarse matemáticamente, es decir un …) importante del teorema (un teorema es una propuesta que puede demostrarse matemáticamente, es un -Dire …) a partir de Cayley-Hamilton según afirma que el polinomio mínimo (polinomio mínimo es una herramienta que le permite utilizar los resultados de la teoría de la …) de una matriz dada (en las tecnologías de la información, un dato es una descripción básica, …) es una divisor (en matemáticas, un número entero d es un divisor de un número entero n cuando la división …) de su polinomio característico.

Motivation

Este teorema tiene dos familias de uso ión:

  • Esto hace que sea posible establecer resultados teóricos, por ejemplo, para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente (un endomorfismo nilpotente es un morfismo de un objeto matemático en sí mismo, ¿Quién, .. .).
  • también permite simplificaciones poderosas en los cálculos de matrices. El enfoque mínimo polinomio es generalmente menos caro que el de los determinantes.

Este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorphism, endomorfismos nilpotting, y más generalmente en la teoría (la teoría palabra viene de la palabra griega theorein, que significa «contemplar, observar, …) general de las matrices

demostración

Una prueba

Cualquiera que sea la matriz s \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}), existe una matriz determinada explícitamente, comp (s), la matriz complementaria a partir de S, que comprueba Scomp ( s) = cOMP (s) S = DETIN. el comp (s) matriz es la transposición de la comress (en álgebra lineal, la llegada de una matriz cuadrada a es una matriz introducido por uno. ..) o cofactor MATRIX De S. Esta relación sigue siendo cierta si los coeficientes de s pertenecen a un anillo, ya que no se ha dividido. Por lo tanto, podemos poner S = Xin – A, cuyos coeficientes su t en \ mathbb {k} y luego tenemos la relación:

(Xi_n-a) \ textrm {comp} (xi_n-a) = \ det (xi_n-a) i_n = p (x) i_n. \ \ (1)

Vamos (1), escribiendo

\ textrm {COMP} (XI_N-A) = \ sum_ {J = 0} ^ {n-1} b_j x ^ j

con b_j \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}), y

p (x) = \ sum_ {J = 0} ^ n p_jx ^ j.

puede desarrollar el producto (Xin – a) Comp (Xin – a):

(XI_N-a) \ textrm {COMP} ( XI_N-A) = X ^ {n} B_ {n-1} + \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ i (b_ {I-1} -ab_ {I}) -ab_0 \ \ (2),

que es idéntica a

\ sum_ {J = 0} ^ n x ^ jp_ji_n. \ \ (3)

Los polinomios (2) y (3) son iguales. Por lo tanto,

p_ {n} i_n = b_ {n-1}, \ quad p_II_N = b_ {i-1} - Ab_ {i}, \ quad p_0 = -ab_0

Se trata de un telescopio:.

\ begin {align} p (a) = \ sum_ {J = 0} ^ n a ^ J (p_ji_n) \\ = a ^ nb_ {n-1} + \ sum_ { i = 1} ^ {n-1} a ^ i (b_ {i-1} -ab_ {I}) -ab_0 \\ = \ sum_ {i = 1} ^ na ~ ib_ {i-1} - \ sum_ {i = 0} ^ {N-1} a ^ {i + 1} b_i \\ = 0 \ end {align}

La evidencia no consiste en una sustitución de X por a una igualdad de polinomio, sino a una identificación de sus coeficientes.

una variante

También puede alinear ideas abstractas.

Empecemos introduciendo un morfismo de evaluación adecuado para resolver el problema. Todo (todo entendido como un conjunto de lo que existe se interpreta a menudo como el mundo o …) primero, \ mathbb {k} siendo un álgebra (algebra, palabra original árabe palabra al -Jabr (الجبر), es la sucursal …) conmutativa en \ mathbb {k}, tenemos un morfismo de evaluación: \ mathbb { k} \ to \ mathbb {k} (que envía x en a y λ en λin para cualquier escalar (un verdadero escalar es un número que sea independiente de la elección de la base elegida para expresar el …) λ). Este morfismo de los anillos conmutativos inducidos (la armadura es un órgano generalmente electromagnético utilizado en el electrotecnia responsable de …) un morfismo de evaluación en los anillos de matrices .

Una notación auxiliar será útil: para dos matrices cuadradas (N, N) señaladas C = (CIJ ) y d = (DIJ), NOTA C \ triangleright D La matriz con los coeficientes de tráfico de términos generales CIJD. Si el lector conoce el producto de Kronecker de dos matrices, podrá notar que c \ triangllight d / div> es casi lo mismo que c \ otimes D

Excepto queC \ triangleright d / div> es una matriz (n, n) cuyos coeficientes son matrices (n, n) mientrasc \ Otimes D es una matriz (N2, N2). Las siguientes fórmulas contienen, de hecho, solo dos casos especiales de esta operación: productos de la formai_n \ triangllight cque es decir matrices cuadradas con C en la diagonal (llama diagonalmente un polígono Cualquier segmento que conecta dos vértices no consecutivos (no …) y de 0 en otros lugares y un productoA \ triangllight i_nc ‘siendo una variante de un lugar donde la matriz de AIJIN reemplaza al Coeficiente (en matemáticas Un coeficiente es un factor multiplicativo que depende de un cierto …) AIJ.

Esta calificación colocada, aplique el morfismo de la evaluación en la relación:

(xi_n-a) \, \ textrm {comp} (xi_n-a) = p (x) i_n.

Obtenemos una relación

( i_n \ triangleright aa \ triangllight i_n) \, m = i_n \ triangllight p (a) \ qquad (*)

en el que m es una matriz determinada con coeficientes en \ mathbb {k} que no necesitaremos (los bes El cuidado está en el nivel de la interacción entre el individuo y el medio ambiente. Es …) saber algo al respecto.

Entonces escribimos una fórmula justa, y sufrimos: no nos hemos detenido, la evaluación de Xin – A por una técnica rigurosa no proporciona 0 pero Un Bizarre Matrix Matrix Coeficients.

Necesita una segunda idea para concluir. Consiste en notar que si \ mathbb {a} es un anillo y e a \ mathbb a -module a la derecha, para Todo R, S, T podemos definir por las fórmulas habituales un producto matricular:

\ mathcal {m} _ {rs} \ times \ mathcal {m} _ {st} (\ mathbb {a}) \ a \ mathcal {m} _ {{}

Para los cuales tenemos la asociatividad si queremos calcular los productos de tres términos:

\ Mathcal {m} _ {rs} \ times \ mathcal {m} _ {st} (\ mathbb {a}) \ times \ mathcal {m} _ {tu} (\ mathbb {a}) \ a \ mathcal {m} _ {ru} (e).

Aplique esta noción a e = \ mathbb {k} ^ n (para puristas en e = \ mathcal {} _ {n1} (\ mathbb {k})) que es un módulo (incluida la multiplicación (la multiplicación es una de las cuatro operaciones de la aritmética elemental … ) se escribe espontáneamente a la izquierda, pero puede ser correcto si se prefiere, el anillo está siendo conmutativo) en el anillo conmutativo \ ma Thbb {a} = \ mathbb {k} (a), la multiplicación externa es la aplicación: definido por (e, b) \ mapsto sea (este BE \, siendo el producto de la matriz (el producto de la matriz se refiere al producto de matrices, inicialmente llamada «composición» ordinaria «) de la matriz cuadrada b \, por la matriz de columna E \,).

Multiplice en la izquierda la relación (*) por el vector (en matemáticas, un vector es un elemento de un espacio vectorial, Que permite …) línea \ comienzan {pmatrix} e_1 \ cdotrix_n \ end {pmatrix} donde (e_1, \ ldots, e_n) se refiere a la base canónica (en un espacio vectorial, una base canónica es una base que se presenta …) de \ mathbb {k} ^ n: Usando el Expresión correcta en (*) Recibimos el vector de línea .

Si ahora usamos la expresión izquierda en (*) y los paréntesis se mueven por la asociativa de la multiplicación de matriz ligeramente inusual descrita anteriormente, es necesario calcular el producto:

\ comienzan {pmatrix} e_1 \ ldotrix_n \ end {pmatrix} (i_n \ triangllight aa \ triangllight i_n).

Para cada índice J, solo podemos ver nota de que su componente J-TH vale la pena: ae_j- \ sum_ {i = 1} ^ n (A_ {ij} i_n) e_i = ae_j- \ sum_ {ij} ^ na_ {ij} e_i = 0.

Al multiplicar este derecho por la matriz inofensiva M y comparando las dos expresiones del producto, concluye que para cualquier índice J, P (A) EJ = 0.

y así P (A) = 0.

Observaciones adicionales en la demostración

La evidencia que se ha dado evita la sustitución de X por una matriz en un contexto (el contexto de un evento incluye las circunstancias y las condiciones lo rodeando; …) no conmutativos, pero las manipulaciones realizadas aún están cerca de esta idea: la ecuación (en matemáticas, una ecuación es la igualdad que une a diferentes cantidades, generalmente …) en los componentes de acuerdo con los poderes. de x, uno se ha multiplicado a la izquierda por AJ el componente que estaba en factor de XJ, y agregamos cualquier conjunto (en teoría de los conjuntos, un conjunto de denota intuitivamente una colección …). De hecho, se usó la operación EVA definida en (5), sin suponer que es un homomorfismo de anillo, de \ Mathcal {M} _n (\ mathbb {k}) en {m} _n (\ mathbb {k}). OPERACIÓN EVA es una evaluación a la izquierda, porque la multiplicación por el descimerino escalar X se reemplaza por la multiplicación a la izquierda por a.

Otra observación (la observación es la acción de seguimiento atento de los fenómenos , sin voluntad de …) es importante: la forma exacta del comp para polinomio (Xin-A) no importa. Así que hay algo que explotar aquí, lo que no dejó de hacer con los matemáticos.

Sea m un anillo no conmutativo; Uno puede definir una división euclidiana (en matemáticas y más precisamente en aritmética, la división euclidiana …) de un polinomio p \ in m por un polinomio Monique B. Es un polinomio cuyo coeficiente del término de mayor grado (el grado de palabra tiene varios significados, se emplea particularmente en los campos …) es una unidad de M, es decir, un elemento de M que tiene una inversa ( En matemáticas, lo opuesto a un elemento x de un conjunto con una ley de …) en M. Más específicamente, hay dos polinomios q, r \ in m, con R de grado estrictamente inferior al grado de B, tales como

p = bq + r.

La demostración es completamente similar a la del caso escalar. Si B = Xin – A, entonces el resto R es de grado 0, y por lo tanto idéntico a una pertenencia constante al Sr. Pero en este caso, en el razonamiento exactamente como en la demostración del teorema de Cayley-Hamilton, llegamos a la conclusión

EVA (P) = R.

Se deduce que EVA (P) es cero si y solo si P es divisible a la izquierda por Xin – A.

La demostración del Teorema Cayley -Hamilton también ofrece otra información: el polinomio comp (xin – a) es el cociente a la izquierda de P (x) en TIN – A. AS P (X) IN y XIN – A ambos pertenecen al anillo submutativo K, la división (la división es una ley de composición que en dos números combina el producto de la primera por …) a la izquierda va enteramente en este subning, por lo que es una división ordinaria. En particular, los coeficientes de matriz comp (xin – a) son combinaciones lineales de poderes de A. En otras palabras, la matriz complementaria de una matriz A es un polinomio A, lo que no es fácil deducir directamente de la definición (una definición es Un discurso que dice lo que es una cosa o qué significa un nombre. De ahí el …) de una matriz complementaria. Mejor, se puede calcular explícitamente sus coeficientes de los de la característica Polinomial P (X), ya que es hacer una división euclidiana ordinaria, y encontramos

\ textrm {comp (- A)} = \ sum_ {j = 1} ^ n p_JA ^ {j-1}.

También podríamos haber obtenido esta relación directamente desde el teorema de Cayley-Hamilton, en virtud de identidad

P_0I_N = \ DET (-A) i_n = -A \ CDOT \ TEXTRM {comp} (- a) = \ textrm {comp} (- a) \ cdot-a.

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