Teorema del cantor – Definición y explicaciones

El teorema del cantor es un teorema matemático, en el campo de la teoría de los conjuntos, que debe su nombre al matemático Georg Cantor.

Cantor demuestra que, para cualquier conjunto E, el cardenal de E siempre es estrictamente inferior al cardinal de \ MathFrak P (E) juntos (en teoría conjuntos , un conjunto denota intuitivamente una colección …) partes de E.

Cuando E es un conjunto finito (en matemáticas, se dice un conjunto E se termina si y solo si hay un número entero y a. ..), el resultado es obvio porque el cardenal de E es el número (la noción de número lingüístico se trata en el artículo «Número …) de elementos en E y, si E contiene elementos n, se muestra que todos partes de E contienen elementos 2N. Entonces es fácil verificar que, para todo (todo incluido como un conjunto de lo que existe es A menudo se interpreta como el mundo o …) entero n, n n n n n.

Cuando E es un conjunto infinito (en matemáticas, un conjunto es infinito si no está terminado, es: decirlo. Contiene un …), es necesario comenzar en la comparación de los cardenales.

\ mathrm {tarjeta} (a) \ leq \ mathrm {tarjeta} (b) Si y solo si, hay una inyección (la inyección de palabras puede tener varios significados 🙂 de A a B.

Cantor demuestra que \ mathrm {tarjeta} (e) \ MathRM {Tarjeta} (\ MathFrak P (E)) Al razonamiento por el absurdo: asume que \ mathrm {tarjeta} (e) \ geq \ mathrm {tarjeta} (\ mathfrak p (e)), por lo que hay una inyección de \ mathfrak p (e) hacia E y llega a una contradicción (una contradicción existe cuando dos afirmaciones, Las ideas, o las acciones son mutuamente excluyentes.).

Llamamos a esta inyección. Luego construimos un subconjunto (en matemáticas, un conjunto A es un subconjunto o parte de un conjunto B, o …) B de E de la siguiente manera: Sea x un elemento de E,

  • si x tiene x Sin antecedentes por F, entonces x no está en B
  • si X tiene un historial por f, es único porque F es inyectivo. Se observa este hacha antecedente. Si X pertenece al Axila, X no está en B, si X no pertenece al Ax, entonces x está en b.

b es una parte de e, y por lo tanto tiene una imagen de f, que es llamado. La pregunta es: «¿Hay o no un elemento de B?». Hay para el antecedente B. Si hay en B, el edificio B, Y no pertenece a su antecedente, por lo que no se pertenece a … b Si no hay en B, siempre de acuerdo con la construcción de B, hay Debe pertenecer a su antecedente, por lo tanto, pertenece a … b Ambas hipótesis conducen a una contradicción para que no pueda existir en la inyección de \ MathFrak P (E) hacia E

Este tipo de razonamiento, que se denomina argumento diagonal (en la evidencia matemática, especialmente los de la lógica matemática, el argumento diagonal es …), fue utilizado por Russell (y Zermelo) para la paradoja (una paradoja es una propuesta que contiene o Parece que contiene una contradicción lógica, o un …) de todos los conjuntos que no pertenecen.

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