Expetido acabado

varias características de setsmodifier

enteiros e ordesModifier

Se retomamos a definición de acabado xuntos na teoría de Conxuntos dun punto de vista máis axiomático, baséase na definición que se lle dá números enteiros. Na teoría de Zermelo ou Zermelo-Fraenkel, todos os números naturais, destacados ω, é o ambiente máis pequeno ao que pertence a 0 e pechado polo sucesor, onde 0 é o conxunto baleiro eo sucesor dun conxunto X é o conxunto obtido engadindo X como elemento : O sucesor de X é x ∪ {x}. Móstranse que todos os enteiros naturais están ben ordenados por pertenza (como orde estrita) e, polo tanto, os seus elementos, que tamén son subconxuntos, tamén son. A orde ampla correspondente é a inclusión integrada.

Artigo detallado: Infinity Axiom.

Unha caracterización máis directa e que non require o axioma infinito , é definir os enteiros como as ordes acabadas:

Un ordinal está rematado cando calquera ordinal non cero que sexa menor ou igual a un predecesor

ou, o que equivale a unha parte non baleira Deste ordinal admite un elemento maior, noutras palabras:

Un ordinal está rematado cando a orde contraria é unha boa orde.

chamaremos aos enteiros de Von Neumann que terminaban as ordinales. En presenza do axioma infinito (xa na teoría de zermelo), son os elementos de ω.

Calquera conxunto finito, é dicir na biolección cun enteiro de von neumann, está equipado, transferindo A orde pola bijección, dunha boa orde cuxo oposto é unha boa orde. Por outra banda, calquera conxunto con tal orde finalízase, porque toda a boa orde é isomórfica a un ordinal. Polo tanto:

Un conxunto finaliza se e só se hai unha boa orde sobre este cuxa orde contraria tamén é unha boa orde.

Todas as total de solicitudes nun conxunto finito sendo isomórfica, deducimos:

Un conxunto ben ordenado remate, se e só se a orde inversa tamén é un bo fin.

As definicións de Tarski e Russell-WhiteHeadModifier

Alfred Taarski deu en 1924 unha definición de conxuntos finitos (recuperados nalgunhas estruturas máis novas) que non se refiren a unha definición previa de números enteiros e que equivalen ao precedente Nunha teoría de conxuntos sen axioma de elección:

Un conxunto de Emine está en sentido de Tarski cando calquera familia non baleira de partes de e admite un elemento mínimo de inclusión,

ou (movéndose a complementaria) ) Cando calquera familia non baleira de partes de e admite un elemento máximo para a inclusión.

Esta definición equivale a unha caracterización inductiva dos conxuntos finitos, dada por Russell e Whitehead no volume II (1912) de The Principia Mathematica,:

Un conxunto E está rematado (no sentido de Russell e Whitehead) cando e pertence a calquera familia S of the Parts of E que comproba as dúas condicións:

  • ∅ ∈ s (O conxunto baleiro pertence a S);
  • Se a ∈ s e x ∈ e, entón un ∪ {x} ∈ s (se pertence a S, calquera parte obtida engadindo un elemento de E a un tamén pertence a S)

mostramos A equivalencia entre as tres definicións rematou os datos globais: en biolección cun enteiro de Von Neumann, terminado no sentido de Tarski, rematado no sentido de Russell-Whitehead, e iso nunha teoría de conxuntos débiles (a teoría de Zermelo sen o axioma do infinito ), especialmente sen o axioma de elección.

Proba da equivalencia entre as tres definicións

Déixanos mostrar por primeira vez, por recorrencia, que calquera total de von neumann n, así que tamén calquera conxunto en biolección con N – non é máis no sentido de taarski. O enteiro 0 (o conxunto baleiro) está obviamente rematado en Tarski. Supoña que agora que n = m ∪ {m} con m acabou en Taarski e imos ser unha familia de ns de n. Teña en conta a subfamilia que consiste nas partes de M que pertencen a S, e s “a familia das partes E de m tal que e ∪ {m} pertence a S. Se s non está baleira, entón é” ou s “non é baleiro. No primeiro caso, admite un elemento mínimo, que tamén é mínimo en S. no segundo caso, admite un elemento mínimo E, e e ∪ {m} é un elemento mínimo de s.

imos Amosar agora que se E está rematado en Tarski, entón E está rematado no sentido de Russell-Whitehead. Imos ser unha parte de e verificar as dúas condicións de Russell-Whitehead. Como ∅ ∈ s, S non está baleira; el Polo tanto, ten un elemento máximo I. Segundo a segunda condición de Russell-Whitehead, I = E, é dicir que e pertence a S.

Finalmente, para calquera conxunto E, o conxunto S das partes rematadas de E (as súas pezas equipótentes a un enteiro de Von Neumann) satisfai as dúas condicións de Russell-Whitehead, polo que se e está rematado no Sentido desde Russell-Whitehead, entón é equitable nun enteiro de Von Neumann.

Definición de DedekindModificador

Un conxunto E dise Infinite en Dedekind (en) Se non pode ser bicicleta cunha das súas partes limpas (ou: calquera inxección de E en si mesmo é o surjectivo). Dedekind é o primeiro en dar unha definición de conxuntos infinitos, en 1888 foi Sind Die Zahlen, e é necesario levar o principio de caixóns de Dirichlet como caracterización de conxuntos finitos.

Se e está rematada (en O significado usado anteriormente), entón E está rematado en Dedekind, pero o recíproco require un axioma adicional (máis débil mentres o axioma da elección contable).

as propiedades da cerca desde o punto de vista dos axiomas de A teoría do setsmodifier

pode ser reinterpretada e expandir as propiedades de peche dos conxuntos finitos en vista dos axiomas da teoría dos conxuntos. Para obter propiedades realmente satisfactorias, debe considerarse a clase de conxuntos hereditarios acabados, é dicir, os conxuntos que non só están rematados, senón cuxos elementos tamén están acabados conxuntos e así por diante.

o primeiro axiomesmodir

Ademais do axioma de extensión e do axioma da fundación, os axiomas da teoría dos conxuntos zfc poden ser interpretados como propiedades de existencia de conxuntos ou preto de certas construcións.

Os conxuntos acabados satisfán O diagrama de axiomas de comprensión, xa que calquera subconxunto dun conxunto finito está rematado (especialmente o conxunto baleiro), o axioma da parella, xa que un par de dous conxuntos está rematado, o axioma de todas as partes, como se ve arriba, Pero non o axioma da reunión, xa que non hai ningunha razón pola que os elementos dun conxunto finito son conxuntos finitos. Se esta condición está satisfeita, vimos que o axioma realízase.

o diagramdificador de substitución

A imaxe dun conxunto finito por unha clase funcional é un conxunto finito: esta é a versión Para os conxuntos acabados do esquema de axioma de substitución. Ten a consecuencia de que a clase funcional en cuestión é unha función e vimos que a imaxe dun finito establecido por un conxunto finito finaliza. Non obstante, no caso dos conxuntos acabados, o réxime de substitución non agrega nada. Pódese demostrar directamente, utilizando o axioma do par e da reunión, que a clase funcional está rematada e, polo tanto, o esquema de substitución é superfluo (tamén leva o esquema de comprensión).

o axioma de ChoicEmodifier

Dado un conxunto finito E = {A1 …, un} de conxuntos non baleiros, unha función de elección F nos e asociados cun elemento AI é unha función de gráfico finito. A existencia dunha función de elección para un conxunto finito está demostrado sen usar o axioma de elección. A función defínese por recorrencia, usando cada paso que o elemento de xogo é un conxunto non baleiro. Só é necesario supoñer que o conxunto en que a función de elección está definida é finita.

Por outra banda, non se pode prescindir do axioma de elección para obter unha función de elección nun conxunto infinito Aínda que consiste só en conxuntos acabados.

Os conxuntos terminados de xeito hereditado

Os conxuntos terminados de xeito hereditario son conxuntos non só terminados, senón cuxos elementos son eles mesmos. Incluso terminado, e así por diante. Máis formalmente, na teoría dos conxuntos de zermelo-freakel, a clase de conxuntos herditarly acabados é a clase máis pequena que contén o conxunto baleiro e pechado por transición a todas as partes. Móstranse que é un conxunto usando o axioma infinito eo esquema de substitución. Observamos Vω, é o nivel ω da xerarquía de von Neumann, máis precisamente:

  • v0 = ø
  • vn + 1 = p (vn)
  • vω = ∪n ∈ n vn.

O enteiro de von neumann n pertence a VN + 1, os enteiros de Von Neumann están, polo tanto, están terminados. O en xeral Vω dos terminalmente terminados é contable, dentro do significado da teoría, é dicir, aquel mostra a existencia dunha bijección entre vω e ω.

móstrase que, nun O modelo de ZF, Vω coa pertenza do modelo restrinxido a Vω é un modelo de todos os axiomas zf, excepto o axioma do infinito. Isto non é demostrable doutros axiomas zf.

Deixa unha resposta

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *