Teorema de Cayley-Hamilton – Definición e explicacións

Introdución

En álxebra lineal, o teorema de Cayley-Hamilton (que leva os nomes de Arthur Cayley e William Hamilton matematarios) afirma que calquera o endomorfismo dun espazo de vectoría dimensional finito en calquera corpo cancela o seu propio polinomio característico (en álxebra lineal, a calquera matriz cadrada ou endomorfismo dun espazo vectorial de …).

En termos de matriz, isto significa que:

Se a é unha matriz cadrada de pedido e se

p (x) = = \ det (xi-a) = x ^ n + p_ {n-1} x ^ {n-1} + lDOTS + P_1 x + p_0

é o seu polinomio (un polinomio, en matemáticas, é a combinación lineal dos produtos de …) característica (polinomio de indeterminada (en matemáticas, un indeterminado é o concepto de formalización …) x), entón reemplazando formalmente X pola matriz A no polinomio, o resultado é a matriz cero:

P (a) = a ^ n + p_ {n-1} a ^ {n-1} + lDOTS + P_1 a + P_0 i_n = 0_n. \;

Teorema de Cayley-Hamilton (en álxebra lineal, teorema de Cayley-Hamilton (que leva os nomes de …) tamén se aplica a matrices cadradas con coeficientes en calquera anel conmutativo.

un corolario (a O teorema é unha proposta que pode ser demostrada matematicamente, é dicir a …) importante do teorema (un teorema é unha proposta que pode ser amonestada matematicamente, é dicir a …) de Cayley-Hamilton afirma que o polinomio mínimo (polinomio mínimo é unha ferramenta que permite usar os resultados da teoría de …) dunha matriz dada (nas tecnoloxías da información, un dato é unha descrición básica, …) é un Divisor (en matemáticas, un enteiro D é un divisor dun enteiro n cando a división …) do seu polinomio característico.

Motivación

Este teorema ten dúas familias de uso ion:

  • fai posible establecer os resultados teóricos, por exemplo, calcular o polinomio característico dun endomorfismo nilpotente (un endomorfismo nilpotente é un morfismo dun obxecto matemático sobre si mesmo, quen … .).
  • Tamén permite simplificacións poderosas nos cálculos das matrices. O enfoque mínimo polinómico é xeralmente menos custoso que iso polos determinantes.

Este teorema usado nos artigos sobre os polinomios do endomorfismo, os endomorfismos nilpotting e máis xeralmente na teoría (a teoría da palabra provén da palabra grega Theorein, que significa “contemplar, observar, …) Xeneral das matrices

Demostración

unha proba

Sexa cal for a matriz s \ in \ en \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}), existe unha matriz explícitamente determinada, comp (s), a matriz complementaria de s, que comproba Scomp ( s) = comp (s) s = Detín. A matriz comp (s) é a transposición do compossa (en álxebra lineal, a chegada dunha matriz cadrada A é unha matriz introducida por unha ..) ou cofactor matrix De S. Esta relación segue sendo certa se os coeficientes de S pertencen a un anel, xa que non se dividiu. Polo tanto, podemos poñer S = Xin – A, cuxos coeficientes t en \ mathbb {k} e despois temos a relación:

(Xi_n-a) \ textrm {comp} (xi_n-a) = \ det (xi_n-a) i_n = p (x) i_n. \ \ (1)

Imos (1), escrita

\ textrm {comp} (xi_n-a) = \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} b_j x ^ j

con b_j \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) e

p (x) = \ sum_ {j = 0} ^ n p_jx ^ j.

pode Desenvolver o produto (Xin – a) comp (Xin – a):

(XI_N-A) \ TEXTRM {comp} ( Xi_n-a) = x ^ {n} b_ {n-1} + sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ i (b_ {i-1} -ab_ {i}) -Ab_0 \ \ \ (2),

que é idéntico a

\ Sum_ {j = 0} ^ n x ^ jp_ji_n. \ \ (3)

Os polinomios (2) e (3) son iguais. Polo tanto,

p_ {n} i_n = b_ {n-1}, \ quad p_ii_n = b_ {i-1} - Ab_ {i}, \ quad p_0 = -Ab_0

Vén unha telescopería:

\ begin {align} p (a) = \ sum_ {j = 0} ^ n a ^ j (p_ji_n) \\ = a ^ nb_ {n-1} + \ sum_ { i = 1} ^ {n-1} a ^ i (b_ {i-1} -ab_ {i}) -Ab_0 \\ = \ sum_ {i = 1} ^ na ~ ib_ {i-1} - \ sum_ {I = 0} ^ {n-1} a ^ {i + 1} b_i \\ = 0 end {align}

a evidencia Non consiste nunha substitución de X por unha igualdade de polinomía, senón a unha identificación dos seus coeficientes.

Unha variante

Tamén pode aliñar as ideas abstractas.

Comecemos a introducir un morfismo de avaliación axeitado para resolver o problema. Todo (todo entendido como un conxunto do que existe é a miúdo interpretado como o mundo ou …) Primeiro, Mathbb {k} Sendo un álgebra (álxebra, palabra original árabe al -Jabr (الجبر), é a rama …) conmutativo en \ mathbb {k}, temos un morfismo de avaliación: \ mathbb { k} \ to \ mathbb {k} (que envía X en a e λ en λin para calquera escalar (un verdadeiro escalar é un número que é independente da elección da base elixida para expresar o …) λ). Este morfismo de aneis conmutativos inducidos (a armadura é un órgano xeralmente electromagnético usado en electrotecnia responsable …) un morfismo de avaliación nos aneis de matrices MathCal {M} _n (\ mathbb {k }) \ a \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}).

Unha notación auxiliar será útil: para dúas matrices cadradas (n, n) c = (cij ) e D = (DIJ), Nota C \ triangleright d a matriz con coeficientes de tráfico a longo prazo xeral cijd. Se o lector coñece o produto de Kronecker de dúas matrices, poderá notar que C \ triangleright D / div> É case o mesmo que c \ Otimes D

excepto que c \ triangleright d / div> é unha matriz (n, n) cuxos coeficientes son matrices (n, n) mentres c \ Otimes D é unha matriz (N2, N2). As seguintes fórmulas conteñen de feito só dous casos especiais desta operación: produtos da forma i_n \ triangleright C que é para dicir matrices cadradas con C na diagonal (diagonalmente chama a un polígono) Calquera segmento que conecte dous vértices non consecutivos (non …) e de 0 noutros lugares e un produto A \ triangleright i_n c ‘Ser unha variante de A onde a matriz Aijin substitúe á Coeficiente (en matemáticas un coeficiente é un factor multiplicativo que depende dun certo …) AIJ.

Esta clasificación colocada, aplique a morfismo de avaliación na relación:

(xi_n-a) \, \ textrm {comp} (xi_n-a) = p (x) i_n.

Recibimos unha relación

( i_n \ triangleright aa \ triangleright i_n) \, m = i_n \ triangleright P (a) \ qquad (*)

en que m é unha determinada matriz con coeficientes en \ mathbb {k} que non necesitaremos (o bes Os coidados están ao nivel da interacción entre o individuo eo medio. É …) para saber algo respecto diso.

Así que escribimos unha fórmula xusta e sufrimos: Non paramos, a avaliación de Xin – A por unha técnica rigorosa non proporciona 0 pero Un coeficiente matricial matricial bizarro.

necesitas unha segunda idea para concluír. Consiste en notar que se \ mathbb {a} é un anel e un \ mathbb a -module á dereita, para Todos os R, S, T podemos definir polas fórmulas habituais dun produto de matriz:

\ mathcal {m} _ {rs} \ veces \ mathcal {m} _ {st} (\ mathbb {a}) \ a \ mathcal {m} _ {{}

para o que temos asociatividade se queremos calcular produtos a tres a tres a tres termos:

\ Mathcal {m} _ {rs} \ veces \ mathcal {m} _ {st} (\ mathbb {a}) \ veces \ mathcal {m} _ {tu} (\ mathbb {a}) \ a \ mathcal {m} _ {rup} (e).

Aplicar esta noción a (para puristas en e = \ mathcal {} _ {n1} (\ mathbb {k})) que é un módulo (incluída a multiplicación (a multiplicación é unha das catro operacións da aritmética elemental … ) está escrito espontaneamente á esquerda, pero pode ser correcto se é preferido, o anel sendo conmutativo) no anel conmutativo \ ma Thbb {a} = \ mathbb {k} (a), a multiplicación externa sendo a aplicación: \ mathcal {m} _ {n1} (\ mathbb {k}) \ Veces \ mathbb {k} (a) definido por (e, b) \ mapsto ser (este be \, Ser o produto da matriz (o produto da matriz refírese ao produto das matrices, inicialmente chamado “composición ordinaria …) da matriz cadrada b \, pola matriz da columna e \,).

multiplides á esquerda A relación (*) polo vector (en matemáticas, un vector é un elemento dun espazo vectorial, Que permite …) liña \ begin {pmatrix} e_1 \ cdotrix_n \ end {pmatrix} onde (e_1, ldots, e_n) refírese á base canónica (nun espazo vectorial, unha base canónica é unha base que se presenta …) de \ mathbb {k} ^ n: usando o Expresión correcta en (*) obtemos a liña Vector .

Se agora usamos a expresión esquerda en (*) e os parénteses son movidos pola asociatividade da multiplicación de matriz lixeiramente inusual descrita anteriormente, é necesario calcular o produto:

Comezar {PMATRIX} E_1 \ ldotrix_n \ end {pmatrix} (i_n \ triangleright aa \ triangleright i_n).

Para cada índice J, só podemos ver nota que o seu compoñente J-th Vale: ae_j- sum_ {i = 1} ^ n (a_ {ij} i_n) e_i = ae_j- \ sum_ {i = 1} ^ na_ {ij} e_i = 0.

multiplicando este dereito pola matriz inofensiva M e comparando as dúas expresións do produto, conclúe que para calquera índice j, p (a) ej = 0.

e así p (a) = 0.

Observacións adicionais sobre a demostración

A evidencia que foi dada evita a substitución de X por unha matriz nun contexto (o contexto dun evento inclúe as circunstancias e condicións o rodeando; o …) non conmutativo, pero as manipulacións realizadas aínda están preto desta idea: a ecuación (en matemáticas, unha ecuación é a igualdade que une diferentes cantidades, normalmente …) en compoñentes segundo os poderes De X, multiplicouse á esquerda por AJ o compoñente que estaba en factor de XJ, e engadimos calquera conxunto (en teoría dos conxuntos, un conxunto de forma intuitiva denota unha colección …). De feito, usouse a operación EVA definida en (5), sen supoñer que é un homomorfismo do anel, de \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) en {m} _n (\ mathbb {k}). Operación EVA é unha avaliación esquerda, porque a multiplicación do escalar X indeterminada é substituída pola multiplicación á esquerda por a.

Outra observación (a observación é a acción de seguimento atento dos fenómenos , sen a vontade do …) é importante: a forma exacta do computador polinomial (xin – a) non importa. Polo tanto, hai algo que explotar aquí, que non deixou de facer cos matemáticos.

deixe ser un anel non conmutativo; Pódese definir unha división euclidiana (en matemáticas e, máis precisamente na aritmética, a división euclidiana …) dun polinomio p \ in m por un polinomio de monique B. É un polinomio cuxo coeficiente do termo de maior grao (o grao de palabras ten varios significados, é particularmente empregado nos campos …) é unha unidade de m, é dicir un elemento de m que ten unha inversa ( En matemáticas, o contrario dun elemento X dun conxunto cunha lei de …) en M. Máis específicamente, hai dous polinomios q, r \ in m, con r de grao estrictamente inferior ao grao de B, como

p = bq + r.

A demostración é totalmente similar á do caso escalar. Se b = xin – a, entón o resto R é de grao 0 e, polo tanto, idéntico a unha constante pertencente ao señor Pero neste caso, no razoamento exactamente como na demostración do teorema de Cayley-Hamilton, chegamos á conclusión

eva (p) = R.

segue que EVA (p) é cero se e só se p é divisible á esquerda por xin – a.

A demostración do teorema Cayley -Hamilton tamén dá outra información: o polinomio comp (Xin – a) é o cociente á esquerda de P (x) en Tin – A. como P (x) en e Xin – A ambos pertencen ao anel sucesivo K, a división (a división é unha lei de composición que a dous números combina o produto desde o primeiro por …) á esquerda vai por completo neste sub-anel, polo que é unha división ordinaria. En particular, comp (Xin – A) coeficientes da matriz son combinacións lineais de poderes de A. Noutras palabras, a matriz complementaria dunha matriz A é unha un polinomio, o que non é fácil de deducir directamente da definición (a definición é un discurso que di que é unha cousa ou que significa un nome. De aí o …) dunha matriz complementaria. Mellor, pódese calcular explícitamente os seus coeficientes dos da característica polinomial P (x), xa que é facer unha división euclidiana ordinaria, e atopamos

\ textrm {comp (- A)} = \ sum_ {j = 1} ^ n p_ja ^ {j-1}.

Tamén poderiamos obter esta relación directamente do teorema de Cayley-Hamilton, en virtude da identidade

P_0I_N = \ DT (-A) I_N = -A \ cdot \ textrm {comp} (- a) = \ textrm {comp} (- a) \ cdot-a ..

Deixa unha resposta

O teu enderezo electrónico non se publicará Os campos obrigatorios están marcados con *