Conjunto finalizado

Várias características do conjunto de ajuste acabado

inteiros e pedidosModificador

Se retomarmos a definição de acabamento juntos na teoria de Define de um ponto de vista mais axiomático, é baseado na definição que é dada inteiros. Na teoria de Zermelo ou Zermelo-Fraenkel, todos os números naturais, observados Ω, é o menor conjunto para o qual pertence 0 e fechado pelo sucessor, onde 0 é o conjunto vazio e o sucessor de um conjunto X é o conjunto obtido por meio do elemento : O sucessor de X é X ∪ {X}. Mostra-se que todos os inteiros naturais são bem ordenados pela associação (como ordem estrita) e, portanto, seus elementos, que também são subconjuntos, também são. A correspondente ordem ampla é a inclusão incorporada.

Artigo detalhado: Axioma infinito.

uma caracterização mais direta, e que não requer o axioma infinito , é definir os inteiros como os ordinais acabados:

Um ordinal é concluído quando qualquer ordinal não-zero menor ou igual a ele tem um predecessor

ou, que é equivalente quando qualquer parte não vazia Deste ordinal admite um elemento maior, em outras palavras:

um ordinal é finalizado quando sua ordem oposta é uma boa ordem.

Vamos ligar nos inteiros de von neumann os ordinais terminados. Na presença do axioma infinito (já na teoria de Zermelo), são os elementos de Ω.

qualquer conjunto finito, isto é, em bijeção com um inteiro de von Neumann, está equipado, transferindo A ordem pela bijeção, de uma boa ordem cujo oposto é uma boa ordem. Por outro lado, qualquer conjunto com tal pedido é concluído, porque toda boa ordem é isomórfica a um ordinal. Portanto:

Um conjunto é concluído se e somente se houver uma boa ordem nesta cuja ordem oposta também é uma boa ordem.

Todos os pedidos totais em um conjunto finito, sendo isomorfo, deduzimos:

Um conjunto bem ordenado é concluído se e somente se a ordem oposta também for uma boa ordem.

Tarski e Russell-WhitehedModificador definições

Alfred Taarski deu em 1924 uma definição de conjuntos finitos (recuperados em algumas estruturas mais recentes) que não se referem a uma definição anterior de inteiros e que é equivalente à precedente Em uma teoria dos conjuntos sem axioma de escolha:

Um conjunto E é concluído no sentido de Tarski quando qualquer família não vazia de partes de E admite um elemento mínimo para inclusão,

ou (movendo-se para complementar ) Quando qualquer família não vazia de partes de e admite um elemento máximo para inclusão.

Esta definição é equivalente a uma caracterização indutiva dos conjuntos finitos, dado por Russell e Whitehead no volume II (1912) de O Principia Mathematica,:

Um conjunto E é terminado (no sentido de Russell e Whitehead) quando e pertence a qualquer família S das partes da E que verifica as duas condições:

  • ∅ ∈ s (o conjunto vazio pertence a s);
  • se A ∈ s e x ∈ e, então a ∪ {x} ∈ s (se pertencer a s, qualquer parte obtida adicionando um elemento de e a um também pertence a S).

nós mostramos A equivalência entre as três definições terminou os dados gerais: em bijeção com um inteiro de von Neumann, terminado no sentido de Tarski, terminado no sentido de Russell-Whitehead, e isso em uma teoria fraca de set (teoria de Zermelo sem o axioma do infinito ), especialmente sem o axioma de escolha.

prova da equivalência entre as três definições

Deixe-nos primeiro mostrar, por recorrência, que qualquer todo de von Neumann n – assim também qualquer conjunto de bijeção com N – não é mais no sentido de taarski. O inteiro 0 (o conjunto vazio) é obviamente acabado em tarski. Suponha agora que n = m ∪ {m} com m terminado em taarski, e vamos ser uma família de ns de n. Observe a subfamília que consiste nas partes de M que pertencem a S, e s “a família das partes e de m de tal que e ∪ {m} pertence a S. Se S não é vazio, então s ‘ou S” vazio. No primeiro caso, admite um elemento mínimo, que também é mínimo em S. no segundo caso, admite um elemento mínimo E, e e ∪ {m} é um elemento mínimo de s.

vamos Mostrar agora que, se E estiver terminado em Tarski, então e terminou no sentido de Russell-Whitehead. Vamos fazer parte de e verificando as duas condições de Russell-Whitehead. Como ∅ ∈ S, S não é vazio; portanto, tem um elemento máximo I. De acordo com a segunda condição de Russell-Whitehead, I = E, isto é, que e pertence a S.

Finalmente, para qualquer conjunto e, o conjunto S das partes acabadas de E (suas partes equipotentes a um inteiro de von Neumann) satisfaz as duas condições de Russell-Whitehead, por isso, se E estiver terminado no sentido de Russell-Whitehead, em seguida, é equipetável em um inteiro de von neumann.

definição de dedekindmodificador

Um conjunto e é dito infinito em Dedekind (en) se não puder ser bicicleta com uma de suas peças limpas (ou: qualquer injeção de E em si é superjetiva). Dedekind é o primeiro a dar uma definição de conjuntos infinitos, em 1888 em foi a Sind Die Zahlen, e é necessário tomar o princípio das gavetas dirichetes como caracterização de conjuntos finitos.

Se E estiver concluído (em O significado anteriormente utilizado), então E é concluído em Dadekind, mas o recíproco requer um axioma adicional (mais fraco enquanto o axioma da escolha contável).

As propriedades da cerca do ponto de vista dos axiomas de A teoria do setsmodificador

Pode ser reinterpretada e expandir as propriedades de fechamento dos conjuntos finitos em vista dos axiomas da teoria dos conjuntos. Para obter propriedades realmente satisfatórias, a classe de conjuntos hereditariamente acabados deve ser considerada, isto é, os conjuntos que não são acabados apenas, mas cujos elementos também são definidos e assim por diante.

o primeiro axiomesModir / h4>

Além do axioma de extensão e do axioma da fundação, os axiomas da teoria dos conjuntos de ZFC podem ser interpretados como propriedades de existência de conjuntos, ou cerca sob certas construções.

Os conjuntos concluídos satisfazem O diagrama de axiomas de compreensão, uma vez que qualquer subconjunto de um conjunto finito é concluído (especialmente o conjunto vazio), axioma l ‘do par, uma vez que um par de dois conjuntos é concluído, o axioma de todas as partes, como visto acima, Mas não o axioma da reunião, uma vez que não há razão para que os elementos de um conjunto finito sejam conjuntos finitos. Se esta condição estiver satisfeita, vimos que o axioma é realizado.

O diagrama de substituição

A imagem de um conjunto finito por uma classe funcional é um conjunto finito: esta é a versão para os conjuntos acabados do esquema de axioma de substituição. Tem a consequência de que a classe funcional em questão é uma função, e vimos que a imagem de um conjunto finito por um conjunto finito é concluído. No entanto, no caso de conjuntos acabados, o esquema de substituição não adiciona nada. Pode ser demonstrado diretamente, usando o axioma do par e da reunião, que a classe funcional é concluída e, portanto, o esquema de substituição é supérfluo (também leva o esquema de compreensão).

o axioma de Choicemodificador

Dado um conjunto finito E = {A1 …, A} de conjuntos não vazios, uma função de escolha F em e associados com um elemento AI é uma função de gráfico finito. A existência de uma função de escolha para um conjunto finito é demonstrada sem usar o axioma de escolha. A função é definida por recorrência, usando cada passo que o elemento de e em jogo é um conjunto não vazio. É só necessário assumir que o conjunto no qual a função de escolha é definida é finita.

Por outro lado, não se pode fazer sem o axioma de escolha para obter uma função de escolha em um conjunto infinito Mesmo consiste apenas de conjuntos concluídos.

Os conjuntos terminados aquiederariamente

Os conjuntos inateriamente terminados são definidos não apenas terminados, mas cujos elementos são eles mesmos. Mesmo terminado e assim por diante. Mais formalmente, na teoria dos conjuntos de Zermelo-Freakel, a classe de conjuntos com acabamento heriditary é a menor classe contendo o conjunto vazio e fechado por transição para todas as partes. É mostrado que é um conjunto usando o axioma infinito e o esquema de substituição. Notamos vω, é o nível Ω da hierarquia de von neumann, mais precisamente:

  • v0 = Ø
  • vn + 1 = p (vn)
  • vω = ∪n ∈ n vn.

O inteiro de von Neumann N pertence ao VN + 1, os inteiros de von Neumann são, portanto, finalmente terminados. A VΩ geral da hereditariamente acabada é em si mesma contável, dentro do significado da teoria, isto é, que se mostra a existência de uma bijeção entre VΩ e Ω.

é mostrado que, em um Modelo de ZF, VΩ com o pertencimento do modelo restrito para VΩ é um modelo de todos os axiomas ZF, exceto o axioma do infinito. Isso não é demonstrável de outros axiomas ZF.

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