Estruturas de MN, P (K)

Uma questão surge imediatamente: o espaço vetorial \ (\ mathcal m_ {n, p} (\ mathbf k) \) é de tipo finito? A resposta será dada a seguir.

Vamos abordar o problema tentando determinar uma generating familiar \ (\ mathcal m_ {n, p} (\ mathbf k) \).

Consideramos o seguinte exemplo:

\ (\ mathcal a = \ left (\ begin {matray} {ccccc} 1 &&&& 3 \ final {array} \ direita) \)

em \ (\ mathcal m_ {2,3} (\ mathbf r) \), podemos escrever \ (\ mathcal a \) naturalmente no seguinte formulário:

\ (\ Left (\ iniciar {matray} {cccccc} 1 &&&& 3 \ end {matray} \ direita) = \ left (\ begt {matray} {cccccc} 1 &&&& 0 \ final {array} \ Direito) + \ \ left (\ begin {matray} {cccccc} 0 &&&& 0 \ end {array} \ direito ) +3 \ left (\ begin {matray} {cccccc} 0 &&&& 0 \ final {matray} \ direita) + \ left (\ begin {matray} {ccccc} 0 &&&& 0 \ final {matriz } \ Direita) +3 \ \ left (\ begin {matray} {ccccc} 0 && 0 \\ 0&

0 & 1 \ final {matray} \ direito) \)

Se analisarmos esta escrita, observamos que o Matrix \ (\ Mathcal A \) é uma combinação linear das matrizes do tipo \ (2 \ times3 \) cujos elementos são zero, exceto um, igual a \ (1 \); Este elemento não zero toma todas as posições possíveis; Aqui há \ (6 \) possibilidades.

Na verdade, este é um resultado geral, declarado no teorema a seguir.

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