Kelvin Equation

Suponha que um tenha um líquido em contato com seu vapor de acordo com uma interface cuja curvatura média é r m {\ displaystyle r_ {m}} / p>

r_ {m}

. Se tomarmos o caso em que a superfície do líquido forma um menisco côncavo como no esquema oposto, então este raio é negativo. A lei de Laplace, indica que a pressão no gás p g {\ displaystyle p_ {g}}

{\ displaystyle p_ {g}}

e que No líquido pl {\ displaystyle p_ {l}}

{\ displaystyle p_ {l}}

está conectado:

pl – pg = 2 γ rm {\ displaystyle p_ {l} -p_ {g} = {\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}}}}}}}}}

{\ displaystyle p_ {L} -p_ {g} = {\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}}}}}}}}}

raio de curvatura no caso em que o líquido está molhando em relação às paredes. Neste caso, a superfície é côncava e é negativa.

Suponha que um líquido puro seja estudado em equilíbrio com seu vapor, este saldo corresponde a uma igualdade de potenciais químicos de gás e vapor μ g = μ l {\ displaystyle \ mu _ {g} = \ mu {{l}}

{\ displaystyle}} = \ mu _ {l}}

. Suponha que nós movemos um pouco este equilíbrio para um novo equilíbrio, podemos escrever para o novo equilíbrio μ g + d μ g = μL + d μ l {\ displaystyle \ mu _ {g} + d \ mu {g} = \ mu _ {l} + d \ mu {l}}

{\ displaystyle \ mu _ {g} + d} + d \ mu {g} = \ mu {l} + d} { L}}

, portanto, d μ g = d μ l {\ displaystyle d \ mu _ {g} = d \ mu _ {l}}

{\ Displaystyle d \ mu _ {g} = d \ mu _ {l}}

. Se a temperatura for constante, esta variação potencial química é:

v g, mofo p g = v l, molde p l {\ displaystyle v_ {g, mol} \, dp_ {g} = v_ {l, mol} \, dp_} l}}

{\ displaystyle v_ {g, mol} \, dp_ {g} = v_ {l, mol}}

.

v l, mol {\ displaystyle v_ {l, mol}}

{\ displaystyle v_ {l, mol}}

e Vg, mol {\ displaystyle v_ {g, mol}}

{\ displaystyle v_ {g, mol}}

são respectivamente os volumes molares do líquido e gás.La Dérivation de l’Équation de Laplace à Températura Constante Donne:

d p l – d p g = d (2 γ r m) {\ displaystyle dp_ {l} -dp_ {g} = d \ esquerda ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direita)}

{\ displaystyle dp_ {l} -dp_ {g} = d \ left ({ \ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}} \ direita)}

en combinante ces deux équeations, nous pouvons éliminer p l {\ displaystyle p_ {}}

{\ displaystyle p_ {l}}

v g, mol mol moldar p, molde p g = d ( 2 γ r m) {\ displaystyle {\ frac {v_ {g, mol}} {v}}}} -dp_}} -dp_ {g} = d \ esquerda ({\ frac {2 \ gamma} {R_ {m}}} \ direita)}

{\ displaystyle {\ frac {v_ {g, mol}} {v}}}} dp_ {g} -dp_ {g} = d \ left ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}

v g, mol – v l , MOL v L, mofo p g = d (2 γ r m) {\ displaystyle {\ frac {v_ {g, mol} -v_ {l, mol}} {v_ {l, mol}}} dp_ {g} = d \ left ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}

{\ displaystyle {\ frac {v_ {g, mol} -v_ {l, mol}} {v_ {l, mol}}} dp_ {g} = d \ left ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}} \ direita)}

le volume molaire du leteide étant 1000 fois plus petit que celui du gaz, em peut Simplifier Cette Équation:

v g, molde p, mofo p g = d (2 γ r m) {\ displaystyle {\ frac {v_ {g, mol}} {v_ {l, mol} }} dp_ {g} = d \ left ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}

{\ displaystyle {\ \ frac {v_ {g, mol}} {v_ {l, mol}}} {g} = d \ left ({\ frac {2 \ gamma}}} \ direita)}} \ direita)}} \ direita)}} \ direita)}} \ direita)}} \ direita)}} \ direita)}} \ direita)}} \ les

en suant que la vapeur est un gaz parfait:

rtv l, molde p g p g = d (2 γ r m) {\ displaystyle {\ frac {rt} {\ frac {rt} {\ frac {rt} {\ frac}} V_ {L, mol}}} {\ frac {g}} {p_ {g}}} = d \ left ({\ frac {\ frac}}}}}}}}}} \ direita)}}} \ direita)}} \ direita)}}} \ direita)}} \ \ \ \}}} \ direita)}} \ \ \}}} \ direita)}} \ \ \ l p>

{\ displaystyle {\ frac {RT} {V_ {l, mol}}} {\ frac {dP_ {g}} {P_ {g}}} = d \ esquerda ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}

no sait que la press vencedora Au-Dessus d’une superfície liquide plan plano est p cat { \ displaystyle p_ {sat}}

{\ displaystyle p_ {sat}}

, Nous Pouvons Donc Intégrer cette É adequação:

∫ p sáb p g rtv l, molde p g p g = ∫ ∞ r md (2 γ r m) {\ displaystyle \ int _ {p_ {sat}} ^ {p_ {g}} {\ \ frac {rt} {v_ {l, mol}}} {\ frac {dp_ {g}} {p_ {g}}} = \ int _ {\ infty}} \ left ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}

{\ displaystyle \ int _ {p_ {s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s } {\ frac {RT} {v_ {l, mol}}} {\ frac {dp_ {g}} {p_}}}}}}}}}}}}}}}}} \ \ esquerda}} \ \ left ({\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}} \ direito)}

ce qui dney l’équation de kelvin:

rtv l, mol ln ⁡ (P g P sat) = 2 γ R m {\ displaystyle {\ frac {RT} {V_ {l, mol}}} \ ln \ esquerda ({\ frac {P_ {g}} {P_ {sab. }}} \ à direita) = {\ frac {2 \ gamma} {r_ {m}}}}}}

{\ displaystyle {\ frac {rt} {v_ {rt} {v_ { l, mol}}} \ ln \ left ({\ frac {p_ {g}} {p_ {sat}}} \ direita) = {\ frac {2 \ gamma}}}}}}}}}}}}}}

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