Teorema Cantor – Definição e explicações

O Teorema Cantor é um teorema matemático, no campo da teoria dos conjuntos, que deve seu nome ao Mathematician Georg Cantor.

cantor demonstra que, para qualquer conjunto e, o cardeal de e é sempre estritamente menor do que o cardeal de \ mathfrak p (e) em conjunto (em teoria , um conjunto intuitivamente denota uma coleção …) partes de E.

Quando e é um conjunto finito (em matemática, um conjunto E é dito acabado se e somente se houver um inteiro n e a. ..), o resultado é óbvio porque o cardeal de e é o número (a noção de número lingüístico é tratado no artigo “número …) de elementos em E e, se e contém N elementos, é mostrado que todos partes de e contém elementos 2n. É então fácil verificar isso, para tudo (tudo incluído como um conjunto do que existe é Muitas vezes interpretado como o mundo ou …) inteiro n, n n n.

Quando e é um conjunto infinito (em matemática, um conjunto é infinito se não estiver terminado, é – dizer que Contém um …), é necessário começar na comparação dos cardeais.

\ mathrm {card} (A) \ leq \ mathrm {card} (b) Se e somente se, há uma injeção (a injeção de palavra pode ter vários significados 🙂 De A a B.

Cantor demonstra que \ mathrm {Card} (E) Mathrm {CARTÃO} (\ Mathfrak P (E)) Por raciocínio pelo absurdo: assume que \ mathrm {card} (e) \ geq \ mathrm} (\ Mathfrak P (E)), então há uma injeção de \ mathfrak p (e) para e e chega a uma contradição (existe uma contradição quando duas afirmações, Idéias, ou ações são mutuamente exclusivas.).

Nós chamamos f esta injeção. Em seguida, construímos um subconco (em matemática, um conjunto A é um subconjunto ou parte de um conjunto B, ou …) B de E da seguinte forma: Deixe X ser um elemento de e,

  • se x tiver Nenhum antecedente por f então x não está em b
  • se x tiver um histórico por f, é único porque f é injecivo. Este machado antecedente é observado. Se x pertencer ao AX, então X não estiver em B, se x não pertencer ao AX, então X estiver em b.

B é uma parte de E, e assim tem uma imagem por f, que é chamado. A questão é: “Existe ou não um elemento de B?”. Há para o Antecedente B. Se houver em B, por construir B, y não pertence a seu antecedente, então não há pertencer a … B Se não houver em B, sempre de acordo com a construção de B, Deve pertencer ao seu antecedente, portanto, pertence a ambas as hipóteses levam a uma contradição para que ele não possa existir em injeção de \ mathfrak p (e) para e

Este tipo de raciocínio, que é chamado argumento diagonal (na evidência matemática, especialmente os da lógica matemática, o argumento diagonal é …), foi usado por Russell (e Zermelo) para o paradoxo (um paradoxo é uma proposta que contém ou Parece conter uma contradição lógica, ou a …) de todos os conjuntos que não pertencem.

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