Teorema de Cayley-Hamilton – Definição e Explicações

Introdução

Na Álgebra Linear, Teorema de Caial-Hamilton (que carrega os nomes de Arthur Cayley e William Hamilton Mathematicians) afirma que qualquer O endomorfismo de um espaço de vetor dimensional finito em qualquer corpo cancela seu próprio polinômio característico (em álgebra linear, a qualquer matriz quadrada ou endomorfismo de um espaço vetorial de …).

em termos de matriz, isso significa que:

Se uma é uma matriz quadrada do pedido e se

p (x) = = \ det (xi-a) = x ^ n + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + p_1 x + p_0

é o seu polinomial (um polinomial, em matemática, é a combinação linear dos produtos de …) característica (polinômio de indeterminado (em matemática, um indeterminado é o conceito de formalização …) x), então formalmente substituindo x pela matriz A no polinômio, o resultado é a matriz zero:

p (a) = a ^ n + p_ {n-1} a ^ {N-1} + \ lDOt + p_1 a + p_0 i_n = 0_n. \;

Teorema de Cayley-Hamilton (em Árgebra linear, Teorema de Cayley-Hamilton (que carrega os nomes de …) também se aplica a matrizes quadradas com coeficientes em qualquer anel comutativo.

um corolário (um O teorema é uma proposta que pode ser matematicamente demonstrada, isto é, um …) Importante do Teorema (um teorema é uma proposta que pode ser demonstrada matematicamente, que é para -dire a …) de Cayley-Hamilton afirma que o polinomial mínimo (polinomial mínimo é uma ferramenta que permite usar os resultados da teoria de …) de uma determinada matriz (nas tecnologias da informação, um dado é uma descrição básica, …) é um Divisor (em matemática, um inteiro D é um divisor de um inteiro n quando a divisão …) de seu polinômio característico.

motivação

Este teorema tem duas famílias de uso íon:

  • torna possível estabelecer resultados teóricos, por exemplo, para calcular o polinômio característico de um endomorfismo nilpotente (um endomorfismo nilpotente é um morfismo de um objeto matemático em si, que, .).
  • Também permite simplificações poderosas nos cálculos matrices. A abordagem polinomial mínima é geralmente menos cara do que isso pelos determinantes.

Este teorema usado nos artigos sobre os polinômios do endomorfismo, nilpotting endomorfismos e, mais geralmente na teoria da palavra (a teoria da palavra vem da palavra grega Theorein, que significa “contemplar, observar, …) Geral das matrizes

demonstração

uma prova

Qualquer que seja a matriz s \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) existe uma matriz explicitamente determinada, comp (s), a matriz complementar de s, que verifica o scomp s) = comp (s) s = detina. A matriz da comp (s) é a transposição da revista (na álgebra linear, a vinda de uma matriz quadrada A é uma matriz introduzida por uma. ..) ou matriz cofactor De S. Essa relação permanece verdadeira se os coeficientes de S pertencem a um anel, já que não foi dividido. Podemos, portanto, colocar S = Xin – A, cujos coeficientes t em \ mathbb {k} e, em seguida, temos o relacionamento:

(Xi_n-a) \ textrm {comp} (xi_n-a) = \ det (xi_n-a) i_n = p (x) i_n. \ \ (1)

vamos (1), escrevendo

\ Textrm {comp} (xi_n-a) = \ sum_ {j = 0} ^ {n-1} b_j x ^ j

com b_j \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) e

p (x) = \ sum_ {j = 0} ^ n p_jx ^ j.

você pode Desenvolva o produto (xin – a) comp (Xin – A):

(xi_n-a) \ textrm {comp} ( Xi_n-a) = x ^ {n} b_ {n-1} + \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ i (b_ {i-1} -ab_ {i}) -ab_0 \ \ \ \} (2),

O que é idêntico a

\ Sum_ {j = 0} ^ n x ^ jp_ji_n. \ \ (3)

Os polinomiais (2) e (3) são iguais. Portanto,

p_n = b_ {n-1}, \ quad p_ii_n = b_ {I-1} - Ab_ {i}, \ Quad P_0 = -ab_0

vem um telescópio:

a evidência Não consiste em uma substituição de x por uma igualdade polinomial, mas para uma identificação de seus coeficientes.

uma variante

Você também pode alinhar idéias abstratas.

Vamos começar introduzindo um morfismo de avaliação apropriado para resolver o problema. Tudo (tudo entendido como um conjunto do que existe é muitas vezes interpretado como o mundo ou …) primeiro, \ mathbb {k} ser uma álgebra (álgebra, palavra original árabe, palavra original al -Já (الجبر), é o ramo …) Comutativo em \ mathbb {k} temos um morfismo de avaliação: \ mathbb { k} \ to \ mathbb {k} (que envia x em um e λ em λin para qualquer escalar (um escalar real é um número independente da escolha da base escolhida para expressar o …) λ). Este morfismo de anéis comutativos induzidos (a armadura é um órgão geralmente eletromagnético usado em eletrotécnica responsável por …) Um morfismo de avaliação nos anéis de matrizes \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k }) \ to \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k})

uma notação auxiliar será útil: para duas matrizes quadradas (n, n) observadas c = (cij ) e d = (DIJ), nota A matriz com coeficientes de tráfego de prazo geral CIJD. Se o leitor conhece o produto Kronecker de duas matrizes, será capaz de perceber que c \ triangleight d / div> É quase a mesma coisa que c \ otimes D Exceto que c \ triangleright d / div> é uma matriz (n, n) cujos coeficientes são matrizes (n, n) enquanto c \ Oturários D é uma matriz (N2, N2). As seguintes fórmulas contêm apenas dois casos especiais desta operação: produtos do formulário i_n \ triangleright c Isto para dizer matrizes quadradas com c na diagonal (chamadas diagonalmente um polígono Qualquer segmento conectando dois vértices não consecutivos (no …) e de 0 em outro lugar e um produto a \ triangleright i_n c ‘sendo uma variante de um onde a matriz do Aijin substitui o Coeficiente (na matemática Um coeficiente é um fator multiplicativo que depende de um certo …) AIJ.

Esta classificação colocada, aplicar o morfismo de avaliação no relacionamento:

(xi_n-a) \, \ textrm {comp} (xi_n-a) = p (x) i_n.

Recebemos um relacionamento

( i_n \ triangleright aa \ triangleright i_n) \, m = i_n \ triangleright p (a) \ Qquad (*)

em que m é uma determinada matriz com coeficientes mathbb {k} que não precisaremos (o bes Os cuidados estão no nível da interação entre o indivíduo e o meio ambiente. É …) Para saber alguma coisa sobre isso.

Então escrevemos uma fórmula justa, e nós não sofri: Nós não paramos, a avaliação de Xin – A por uma técnica rigorosa não fornece 0, mas Um coeficiente de matriz bizarro.

Você precisa de uma segunda ideia para concluir. Consiste em perceber que, se \ mathbb {a} é um anel e e um \ mathbb a -module à direita, para Todo o r, s, que podemos definir pelas fórmulas usuais Um produto matricial:

\ mathcal {m} _ {RS} \ vezes \ mathcal {m} _ {} (\ mathbb {a}) \ to \ mathcal {m} _ {{}

para os quais temos associatividade se quisermos calcular produtos de três termo:

\ Mathcal {m} _ {rs} \ times \ mathcal {m} _ {s} (\ mathbb {}) \ vezes \ mathcal {m} _ {tu} (\ mathbb {a}) \ to \ mathcal {m} _ {ru} (e).

aplique esta noção a e = \ mathbb {k} ^ n (para puristas em ) que é um módulo (incluindo multiplicação (multiplicação é uma das quatro operações da aritmética elementar … ) é escrito espontaneamente à esquerda, mas pode estar certo se for preferido, sendo o anel sendo comutativo) no anel comutativo \ ma Thbb {a} = \ mathbb {k} (a), a multiplicação externa sendo o aplicativo: \ mathcal {m} _ {n1} (\ mathbb {k}) \ Vezes \ mathbb {k} (a) definido por (E, b) \ MapSto seja (este ser \, ser o produto da matriz (o produto da matriz refere-se ao produto de matrizes, inicialmente chamado de “composição …) comum da matriz quadrada b \, pela matriz da coluna e \,

multiplídeos à esquerda a relação (*) pelo vetor (em matemática, um vetor é um elemento de um espaço vetorial, Que permite …) linha \ bege {pmatrix} e_1 \ cdotrix_n \ end {pmatrix} Ole (E_1, \ LDOTS, E_N) Refere-se à base canônica (em um espaço vetorial, uma base canônica é uma base que se apresenta …) de \ mathbb {k} ^ n: usando o Expressão correta em (*) recebemos o vetor de linha .

Se agora usamos a expressão à esquerda em (*) e os parênteses são movidos por associatividade da multiplicação de matriz ligeiramente incomum descrita acima, é necessário calcular o produto:

\ begin {pmatrix} e_1 \ ldotrix_n \ end {pmatrix} (I_n \ triangleright AA \ triangleright I_n).

Para cada índice j, só podemos ver o seu componente J-Th vale: ae_j- \ sum_ {i = 1} ^ n (a_ {ij} i_n) e_i = ae_j- \ sum_ {i = 1} ^ na_ {ij} e_i = 0.

multiplicando este direito pela matriz inofensiva M e comparando as duas expressões do produto, conclui que para qualquer índice j, p (a) ej = 0.

e tão p (a) = 0.

Observações adicionais sobre a demonstração

As evidências que foram indicadas evitam a substituição de x por uma matriz em um contexto (o contexto de um evento inclui as circunstâncias e condições Ao redor, a …) Não-comutativa, mas as manipulações realizadas ainda estão próximas a essa ideia: a equação (em matemática, uma equação é a igualdade que vincula quantidades diferentes, geralmente …) em componentes de acordo com os poderes de X, é multiplicado à esquerda por AJ o componente que estava em fator de XJ, e adicionamos qualquer conjunto (em teoria dos conjuntos, um conjunto intuitivamente denota uma coleção …). De fato, a operação EVA definida em (5) foi usada, sem supor que é um homomorfismo do anel, de \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) em {m} _n (\ mathbb {k}). Operação EVA é uma avaliação esquerda, porque a multiplicação pelo escalar x indeterminado é substituída pela multiplicação à esquerda por a.

Outra observação (observação é a ação de acompanhamento atenciosa dos fenômenos , sem disposição do …) é importante: a forma exata da Comp polinomial (Xin – A) não importa. Então, há algo para explorar aqui, o que não deixou de fazer com os matemáticos.

Seja um anel não comutativo; Pode-se definir uma divisão euclidiana (em matemática e, com mais precisão, em aritmética, a divisão euclideana …) de um polinômio p \ em m por um polinomial Monique B. É polinomial cujo coeficiente do termo de maior grau (o grau de palavras tem vários significados, é particularmente empregado nos campos …) é uma unidade de m, isto é, um elemento de m que tem um inverso ( em matemática, o oposto de um elemento x de um conjunto com uma lei de …) Em M. Mais especificamente, existem dois polinômios Q, r \ in m, com r de grau estritamente inferior ao grau de B, como

p = bq + r.

A demonstração é totalmente semelhante à do caso escalar. Se b = xin – A, então o resto r é de grau 0, e, portanto, idêntico a uma constante pertencente ao Sr. mas neste caso, no raciocínio exatamente como na demonstração do teorema de Cayley-Hamilton, chegamos à conclusão

eva (p) = R.

segue que EVA (p) é zero se e somente se p é divisível à esquerda por xin – a.

a demonstração do teorem cayley -Hamilton também dá a outras informações: o polinomial comp (xin – a) é o quociente à esquerda de P (x) em lata – A. como p (x) em e Xin – A ambos pertencem ao anel sub-comutativo K, a divisão (a divisão é uma lei de composição que em dois números combina o produto desde o primeiro por …) à esquerda vai inteiramente nesse sub-ring, por isso é uma divisão comum. Em particular, os coeficientes de matriz (Xin – a) são combinações lineares de poderes de A. Em outras palavras, a matriz complementar de uma matriz A é um polinomial A, o que não é fácil deduzir diretamente da definição (uma definição é Um discurso que diz que é uma coisa ou que nome significa. Daí a …) de uma matriz complementar. Melhor, pode-se calcular explicitamente seus coeficientes daqueles do Polinomial P (X) característico, pois é fazer uma divisão euclidiana comum, e encontramos

\ Textrm {comp (- A) = \ sum_ {j = 1} ^ n p_ja ^ {j-1}.

Nós também pudemos ter obtido este relacionamento diretamente do teorema de Cayley-Hamilton, em virtude da identidade

p_0i_n = \ Det (-a) i_n = -a \ cdot \ textrm {comp} (- a) = \ textrm {comp} (- a) \ cdot-a.

Deixe uma resposta

O seu endereço de email não será publicado. Campos obrigatórios marcados com *