Cantor Theorem – Definiție și explicații

Teorema cantorului este o teoremă matematică, în domeniul teoriei seturilor, care își datorează numele la matematicianul Georg Cantor.

cantor demonstrează că, pentru orice set E, Cardinalul E este întotdeauna strict mai mic decât Cardinalul \ Mathfrak P (E) împreună (în seturile teoretice , un set intuitiv denotă o colecție …) părți ale E.

Când E este un set finit (în matematică, un set E este menționat terminat dacă și numai dacă există un număr întreg N și A. ..), rezultatul este evident, deoarece cardinalul de e este numărul (noțiunea de număr lingvistic este tratată în articolul „numărul …) a elementelor din E și, dacă E conține elemente n, se arată că totul Părțile din E conține elemente 2N. Apoi este ușor să verificați că, pentru tot (all inclusive ca un set de ceea ce există adesea interpretat ca lumea sau …) Întreg n, n n n.

Când E este un set infinit (în matematică, un set este infinit dacă nu este terminat, este – să spun dacă este conține un …), este necesar să începeți compararea cardinalilor.

\ Mathrm {card} (a) \ leq \ mathrm {card} (b) Dacă și numai dacă există o injecție (cuvântul injecție poate avea mai multe sensuri 🙂 de la A la B.

Cantor demonstrează că \ Mathrm {card} (e) Mathrm {card} (\ Mathfrak P (E)) prin raționament de către absurdul: presupune că \ Mathrm {card} (e) \ geq \ mathrm {card} (\ MATHFRAK P (E)), deci există o injecție de \ Mathfrak P (e) Către E și sosește la o contradicție (o contradicție există atunci când două afirmații, Ideile sau acțiunile sunt exclusive reciproc).

Aflăm F Această injecție. Apoi, construim un subset (în matematică, un set A este un subset sau o parte dintr-un set B, sau …) B de E după cum urmează: Fie X un element de e,

  • dacă X are Nici un antecedent de f, atunci x nu este în b
  • Dacă x are o istorie de f, este unic deoarece F este injectiv. Acest topor antecedent este notat. Dacă X aparține Axului, atunci X nu este în B, dacă X nu aparține Axului, atunci X este în b.

b este o parte a lui E și astfel are o imagine de F, care este numit. Întrebarea este: „Există sau nu un element al lui B?”. Există pentru antecedente B. Dacă există în B, prin construirea B, Y nu aparține antecedentului ei, astfel încât nu aparține … B Dacă nu există în B, întotdeauna în funcție de construcția lui B, acolo Trebuie să aparțină antecedentului său, prin urmare, aparține … B Ambele ipoteze conduc la o contradicție, astfel încât să nu existe în injectarea \ Mathfrak P (e) spre e

Acest tip de raționament, care se numește argument diagonal (în dovezile matematice, în special cele ale logicii matematice, argumentul diagonal este …), a fost folosit de Russell (și Zermelo) pentru paradox (un paradox este o propunere care conține sau Se pare că conține o contradicție logică sau o …) a tuturor seturilor care nu aparțin.

DIV>

Acest articol te-a plăcut? Împărtășiți-l pe rețelele sociale cu prietenii dvs.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *