Set finit

Diferite caracteristici ale setierelor finite

numere întregi și comenzi

dacă reluăm definiția finalizată împreună în teoria teoriei Seturi dintr-un punct de vedere mai axiomatic, se bazează pe definiția care este dată întregi. În teoria lui Zermelo sau în zermelo-Fraenkel, toate numerele naturale, notate ω, este cel mai mic set la care aparține 0 și închis de succesor, unde 0 este setul gol și succesorul unui set X este setul obținut prin adăugarea X ca element : Succesorul lui X este x ∪ {x}. Se demonstrează că toate numerele naturale sunt bine ordonate de calitatea de membru (ca ordine strictă) și, prin urmare, elementele sale, care sunt, de asemenea, subseturi, sunt, de asemenea. Ordinea largă corespunzătoare este incluziunea încorporată.

Articol detaliat: axiom Infinity.

o caracterizare mai directă și care nu necesită o axiom infinit , este de a defini numerele întregi ca ordinul finit:

O ordinul este terminat atunci când orice ordin non-zero care este mai mic sau egal cu acesta are un predecesor

sau, echivalent atunci când orice parte ne-goală Din această ordin admite un element mai mare, cu alte cuvinte:

Un ordinal este terminat când ordinea opusă este o ordine bună.

Vom apela la numerele întregi ale lui Von Neumann, ordonările au terminat. În prezența axiomului infinit (deja în teoria zermelo), elementele lui ω.

orice set finit, adică în bijecția cu un număr întreg de von Neumann, transferând ordinea de bijecție, a unei ordini bune a cărei opusă este o ordine bună. Dimpotrivă, orice set cu o astfel de comandă este terminat, deoarece toată ordinea bună este izomorfă la o ordinală. Prin urmare:

Un set este terminat dacă și numai dacă există o comandă bună pe aceasta a cărei ordine opusă este, de asemenea, o comandă bună.

Toate comenzile totale de pe un set finit fiind izomorfic, deducem:

Un set bine comandat este terminat dacă și numai dacă ordinea opusă este, de asemenea, o comandă bună.

Tarski și Russell-WhiteheadMotărârmente Definiții

Alfred Taarski a dat în 1924 o definiție a seturilor finite (recuperate în unele structuri mai noi) care nu se referă la o definiție prealabilă a numerelor întregi și care este echivalentă cu cea precedentă Într-o teorie a seturilor fără axa de alegere:

un set E este terminat în sensul TARSKI atunci când orice familie non-goală de părți din E admite un element minim pentru includere,

sau (prin deplasarea la complementare ) atunci când orice familie non-goală de părți din E admite un element maxim pentru includere.

Această definiție este echivalentă cu o caracterizare inductivă a seturilor finite, dată de Russell și Whitehead în volumul II (1912) Principiul Mathematica:

Un set E este terminat (în sensul lui Russell și Whitehead) când E aparține oricărei familii din părțile E care verifică cele două condiții:

  • ∅ ∈ s (setul gol aparține s);
  • dacă a ∈ s și x ∈ E, apoi a ∪ {x} ∈ s (dacă A aparține lui s, orice parte obținută prin adăugarea unui element de E la un element).

noi arătăm Echivalența dintre cele trei definiții au terminat datele generale: în bijecția cu un număr întreg de von Neumann, terminat în sensul lui Tarski, terminat în sensul lui Russell-Whitehead, și aceasta într-o teorie setată slabă (teoria lui Zermelo fără axiomul infinității ), în special fără axa de alegere.

dovada echivalenței dintre cele trei definiții

ntegerul 0 (setul gol) este în mod evident finisat în Tarski. Să presupunem acum că n = m ∪ {m} cu m a terminat în Taarski, și să fie o familie de ns de n. Rețineți că subfamilionul constând din părțile M care aparțin S, și S „Familia părților E al M astfel încât E {m} aparține S. dacă S este non-goală, atunci S” sau S „nu este gol. În primul caz, admite un element minim, care este, de asemenea, minim în S. În al doilea caz, admite un element minim E și E ∪ {m} este un element minim de s.

haideți arată acum că dacă E este terminat în Tarski, atunci E este terminat în sensul lui Russell-Whitehead. Fie ca o parte din e verificarea celor două condiții ale lui Russell-Whitehead. Ca ∅ s, S este ne-goală; ea prin urmare, are un element maxim I. În conformitate cu cea de-a doua condiție a lui Russell-Whitehead, i = E, adică că E aparține lui S.

În cele din urmă, pentru orice set E, setul de părți finite ale E (părțile sale echipamente la un număr întreg de von Neumann) satisface cele două condiții ale lui Russell-Whitehead, așa că dacă E este terminat în Sense de la Russell-Whitehead, atunci este echipate la un număr întreg de von Neumann.

Definiția Dedekindmodificator

Un set E este menționat infinit în Dedekind (EN) dacă nu poate fi bicicleta cu una din părțile sale curate (sau: orice injecție de E în sine este surjectivă). Dedekind este primul care a dat o definiție a seturilor infinite, în 1888 a fost Sind Die Zahlen și este necesar să se ia principiul sertarelor Dirichlet ca caracterizare a seturilor finite.

dacă E este terminat (în Semnificația utilizată anterior), apoi E este terminată în Dedekind, dar reciprocitatea necesită o axiom suplimentară (mai slabă, în timp ce axiomul alegerii).

Proprietățile gardului din punctul de vedere al axiomului Teoria setierelor

Poate fi reinterpretată și extinderea proprietăților de închidere ale seturilor finite având în vedere axiomele teoriei seturilor. Pentru a obține proprietăți cu adevărat satisfăcătoare, trebuie să fie luată în considerare clasa de seturi terminate din punct de vedere ereditat, adică seturile care nu sunt finalizate, dar ale căror elemente sunt, de asemenea, finalizate seturi și așa mai departe.

primul axiomesmodir

În afară de axiomul extensiei și axiomul fundației, axiomele teoriei seturilor ZFC pot fi interpretate ca proprietăți de existență ale seturilor sau gardului în anumite construcții.

Seturile finite îndeplinesc Diagrama axiomilor de înțelegere, deoarece orice subset de set finit este terminat (în special setul gol), l ‘axiomul perechii, deoarece o pereche de două seturi este terminată, axiomul tuturor părților, așa cum se vede mai sus, Dar nu axiomul întâlnirii, deoarece nu există niciun motiv ca elementele unui set finit să fie seturi finite. Dacă această condiție este satisfăcută, am văzut că axiomul este realizat.

diagrama de înlocuire

Imaginea unui set finit de o clasă funcțională este un set finit: Aceasta este versiunea pentru seturile finite ale schemei axiomului de înlocuire. Are consecința că clasa funcțională în cauză este o funcție și am văzut că imaginea unui set finit de un set finit este terminată. Cu toate acestea, în cazul seturilor finite, schema de înlocuire nu adaugă nimic. Se poate demonstra direct, folosind axiomul perechii și întâlnirea, că clasa funcțională este terminată și, prin urmare, schema de înlocuire este inutilă (ia, de asemenea, schema de înțelegere).

Axiomul lui alegereModificator

Având în vedere un set finit e = {A1 …, un} de seturi non-goale, o funcție de alegere F pe E Associates cu un element AI este o funcție de grafic finită. Existența unei funcții de alegere pentru un set finit este demonstrată fără a utiliza axiomul de alegere. Funcția este definită de recurență, utilizând fiecare pas pe care elementul de e în joc este un set non-gol. Este necesar să presupunem că setul pe care este setat funcția de alegere este finit.

Pe de altă parte, nu se poate face fără axiom de alegere pentru a obține o funcție de alegere pe un set infinit Chiar dacă constă numai din seturile finite Mai formal, în teoria seturilor Zermelo-Freake, clasa seturilor terminate de heridarly este cea mai mică clasă care conține setul gol și închis prin tranziție la toate părțile. Se arată că este un set folosind axiomul infinit și schema de înlocuire. Noteză VΩ, este nivelul Ω al ierarhiei lui Von Neumann, mai precis:

  • v0 = Ø
  • vn + 1 = P (VN)
  • vω = ∪n ∈ n vn.

Intregul lui Von Neumann N aparține VN + 1, numerele lui Von Neumann sunt, prin urmare, finalizate efectiv. În general, Vω a finisată efectiv este el însuși, în sine, în sensul teoriei, adică că cineva arată existența unei bijiciuni între VΩ și Ω.

Se arată că, într-o Modelul ZF, VΩ cu apartenența modelului restricționat la VΩ este un model al tuturor axiomelor ZF, cu excepția axiomului de infinit. Acest lucru nu este demonstrat de la alte axiome ZF.

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *