Set finito

Varie caratteristiche del set di set finito

interi e ordiniModifier

Se riprendiamo la definizione di finito insieme nella teoria di Imposta da un punto di vista più assiomatico, si basa sulla definizione che viene fornita interi. Nella teoria di Zermelo o nella Zermelo-Fraenkel, tutti i numeri naturali, annotati Ω, è il set più piccolo su cui appartiene 0 e chiuso dal successore, dove 0 è il set vuoto e il successore di un set X è il set ottenuto aggiungendo x come elemento : Il successore di x è x ∪ {x}. È dimostrato che tutti i numeri interi naturali sono ben ordinati dall’appartenenza (come ordine rigoroso), e quindi i suoi elementi, che sono anche sottoinsiemi, sono anche. L’ordine ampio corrispondente è l’inclusione incorporata.

Articolo dettagliato: Infinity Axiom.

Una caratterizzazione più diretta e che non richiede l’assioma infinito , è definire i numeri interi come gli ordinali finiti:

Un ordinale è finito quando qualsiasi ordinale non zero è inferiore o uguale ad esso ha un predecessore

o, che è equivalente quando qualsiasi parte non vuota Di questo ordinale ammette un elemento più grande, in altre parole:

Un ordinale è finito quando il suo ordine opposto è un buon ordine.

Chiameremo nei numeri interi di Von Neumann, gli ordinali hanno finito. In presenza dell’infinito assioma (già nella teoria dello Zermelo), sono gli elementi di Ω.

Qualsiasi set finito, vale a dire in Bijection con un numero intero di von Neumann, è dotato di trasferimento L’ordine da parte della Biject, di un buon ordine il cui opposto è un buon ordine. Viceversa, qualsiasi set con tale ordine è finito, perché tutto il buon ordine è isomorfo a un ordinale. Pertanto:

Un set è finito se e solo se c’è un buon ordine su questo il cui ordine opposto è anche un buon ordine.

Tutti gli ordini totali su un set finito è isomorfo, deduciamo:

Un set ordinato è finito se e solo se l’ordine opposto è anche un buon ordine.

Tarski e Russell-WhiteHeadModifier Definizioni

Alfred TAARSKI ha dato nel 1924 una definizione di set finiti (recuperati in alcune strutture più recenti) che non si riferisce a una definizione precedente di numeri interi e che è equivalente ai precedenti In una teoria dei set senza assioma di scelta:

un set E è rifinito nel senso del tarski quando qualsiasi famiglia non vuota di parti di E ammette un elemento minimo per l’inclusione,

o (spostandosi a complementare ) Quando qualsiasi famiglia non vuota di parti di E ammette un elemento massimo per l’inclusione.

Questa definizione è equivalente a una caratterizzazione induttiva dei set finiti, dato da Russell e Whitehead in Volume II (1912) di La Principia Mathematica,:

Un set E è finito (nel senso di Russell e Whitehead) quando E appartiene a qualsiasi famiglia s delle parti di E che controlla le due condizioni:

  • ∅ ∈ S (il set vuoto appartiene a s);
  • se a ∈ s e x ∈ E, quindi a ∪ {x} ∈ S (se A appartiene a S, qualsiasi parte ottenuta aggiungendo un elemento di E a un appartiene anche a s).

Ci mostriamo L’equivalenza tra le tre definizioni finì i dati complessivi: in Biejection con un numero intero di Von Neumann, rifinito nel senso di Tarski, rifinito nel senso di Russell-Whitehead, e questo in una debole teoria del set (teoria di Zermelo senza l’assioma dell’infinito ), specialmente senza l’assioma di scelta.

prova dell’equivalenza tra le tre definizioni

Lasciateci mostrare prima, con la ricorrenza, che qualsiasi intero von Neumann N – così anche qualsiasi set di Bijection con N – non è più nel senso di TAARSKI. L’intero 0 (il set vuoto) è ovviamente rifinito in Tarski. Supponiamo ora che n = m ∪ {m} con M finito a Taarski, e lascia che sia una famiglia di ns di n. Nota la sottofamiglia costituita da parti di M che appartiene a S, e S “la famiglia delle parti e di m tale che E ∪ {m} appartiene a S. Se S è non vuoto allora s ‘o s” non è vuoto. Nel primo caso, ammette un elemento minimo, che è anche minimo in S. Nel secondo caso, ammette un elemento minimo e, e ∪ {m} è un elemento minimo di s.

Let’s mostrare ora che se E è finito a Tarski, allora E è finito nel senso di Russell-Whitehead. Sia s una parte di e verificando le due condizioni di Russell-Whitehead. Come ∅ ∈ S, S è non vuoto; Pertanto ha un elemento massimo I. Secondo la seconda condizione di Russell-Whitehead, I = E, vale a dire che E appartiene a S.

Infine, per qualsiasi set E, il set s delle parti finite di E (le sue parti equipotenti a un numero intero di von neumann) soddisfano le due condizioni di Russell-Whitehead, quindi se E è finita nel senso da Russell-Whitehead, allora è equiptable ad un numero intero di von Neumann.

Definizione dedekindmodifier

una serie e è detto infinito a Dedekind (EN), se non può essere moto con una delle sue parti pulite (o: qualsiasi iniezione di e di per sé è suriettiva). Dedekind è il primo a dare una definizione di insiemi infiniti, nel 1888 era Sind Die Zahlen, ed è necessario prendere il principio dei cassetti Dirichlet come caratterizzazione di insiemi finiti.

se E è finito (in il significato precedentemente usata), allora E è finito in Dedekind, ma il reciproco richiede un assioma supplementare (debole mentre l’assioma della scelta numerabile).

le proprietà recinzione Dal punto di vista degli assiomi La teoria del setmodifier

può essere reinterpretato ed espandere le proprietà di chiusura dei set finiti in vista degli assiomi della teoria dei set. Per ottenere proprietà molto soddisfacenti, la classe di insiemi hereditarily finiti va considerato, vale a dire gli insiemi che non solo sono terminate, ma i cui elementi sono anche gruppi finiti e così via.

Il primo axiomesmodir

Oltre dall’assioma estensione e l’assioma fondazione, gli assiomi della teoria degli insiemi ZFC possono essere interpretati come proprietà esistenza di insiemi, o recinzione in determinate costruzioni.

gli insiemi finiti soddisfano lo schema di assiomi di comprensione, poiché qualsiasi sottoinsieme di un insieme finito è finito (specialmente l’insieme vuoto), L ‘assioma della coppia, poiché una coppia di due insiemi qualsiasi è finito, l’assioma di tutte le parti, come visto sopra, ma non all’assioma della riunione, poiché non v’è alcuna ragione per cui gli elementi di un insieme finito sono insiemi finiti. Se questa condizione è soddisfatta abbiamo visto che l’assioma è realizzato

La sostituzione diagramDifier

L’immagine di un insieme finito da una classe funzionale è un insieme finito:. Questa è la versione per i set finiti dello schema assioma sostitutivo. Ha la conseguenza che la classe funzionale in questione sia una funzione, e abbiamo visto che l’immagine di un set finito da un set finito è finito. Tuttavia, nel caso di set finiti, lo schema sostitutivo non aggiunge nulla. Si può dimostrare direttamente, usando l’assioma della coppia e la riunione, che la classe funzionale è finito, e quindi lo schema di sostituzione è superfluo (che serve anche lo schema di comprensione).

L’assioma choiceModifier

Dato un insieme finito E = {A1 …, An} di insiemi non vuoti, in funzione della scelta f sugli e collegate con a ai elemento è una funzione grafica finita. L’esistenza di una funzione di scelta per un set finito viene dimostrata senza utilizzare l’assioma di scelta. La funzione è definita dalla recidiva, utilizzando ogni passaggio che l’elemento di e in gioco è un set non vuoto. È solo necessario assumere che l’apparecchio su cui la funzione scelta è impostato è finita.

D’altra parte, non si può fare a meno del assioma di scelta per ottenere una funzione di scelta su un insieme Infinite anche se è composta solo di insiemi finiti.

I set hereditarily finito

I set heredarily finiti sono insiemi non solo finiti, ma i cui elementi sono essi stessi. anche finito, e così via. Più formalmente, nella teoria degli insiemi Zermelo-Freakel, la classe di insiemi heriditarly finiti è la classe più piccola contenente l’insieme vuoto e chiuso da transizione a tutte le parti. Viene mostrato che è un set utilizzando l’assioma infinito e lo schema sostitutivo. Notiamo VΩ, è il Ω livello della gerarchia di von Neumann, più precisamente:

  • V0 = Ø
  • vn + 1 = p (vn)
  • vω = ∪n ∈ n vω = ∪n ∈ n vn.

Il numero intero di von neumann n appartiene a VN + 1, i numeri interi di Von Neumann sono quindi terminati adreredaticamente. La VΩ complessiva del ereditario finito è stessa numerabile, ai sensi della teoria, cioè, che si mostra l’esistenza di una biiezione tra Vω e Ω.

Si dimostra che, in un Il modello di ZF, VΩ con l’appartenenza del modello ristretto a VΩ è un modello di tutti gli assiomi ZF tranne l’assioma dell’infinito. Questo non è dimostrabile da altri assiomi ZF.

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *