Teorema Cayley-Hamilton – Definizione e spiegazioni

Introduzione

In algebra lineare, teorema di Cayley-Hamilton (che porta i nomi di Arthur Cayley e William Hamilton Mathematicians) afferma che qualsiasi Endomorfismo di uno spazio vettoriale dimensionale finito su qualsiasi corpo annulla il proprio polinomio caratteristico (in algebra lineare, a qualsiasi matrice quadrata o endomorfismo di uno spazio vettoriale di …).

In termini di matrice, questo significa che:

Se A è una matrice quadrata dell’ordine e se

P (x) = = \ det (xi-a) = x ^ n + p_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + p_1 x + p_0

è il suo polinomio (un polinomio, in matematica, è la combinazione lineare dei prodotti Di …) Caratteristica (polinomiale di indeterminato (in matematica, un indeterminato è il concetto per formalizzare …) x), quindi sostituendo formalmente x dalla matrice A nel polinomiale, il risultato è la matrice zero:

P (A) = A ^ N + P_ {N-1} A ^ {N-1} + \ LDOTS + P_1 A + P_0 I_N = 0_N \;

Teorema di Cayley-Hamilton (in algebra lineare, teorema di Cayley-Hamilton (che porta i nomi di …) si applica anche alle matrici quadrate con coefficienti in qualsiasi anello commutativo.

un corollario (a Teorema è una proposta che può essere dimostrata matematicamente, vale a dire …) Importante del teorema (un teorema è una proposta che può essere dimostrata matematicamente, cioè da -Dire a …) da Cayley-Hamilton Asserts che il polinomio minimo (polinomiale minimo è uno strumento che consente di utilizzare i risultati della teoria del …) di una determinata matrice (nelle tecnologie delle informazioni, un dato è una descrizione di base, …) è a Divisor (in matematica, un intero D è un divisore di un numero intero n quando la divisione …) del suo caratteristico polinomio.

Motivazione

Questo teorema ha due famiglie d’uso ION:

  • consente di stabilire risultati teorici, ad esempio per calcolare il caratteristico polinomio di un endomorfismo nilpotente (un endomorfismo nilpotente è un morfismo di un oggetto matematico su se stesso, chi, .. .).
  • consente anche potenti semplificazioni nei calcoli delle matrici. L’approccio minimo polinomiale è generalmente meno costoso di quello dei determinanti.

Questo teorema utilizzato negli articoli sui polinomi dell’endomorfismo, nilpotting endomorfismi e più in generale nella teoria (la teoria della parola viene dalla parola greca teorein, che significa “contemplare, osservare, …) generale delle matrici

Dimostrazione

A Proof

Qualunque sia la matrice s \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}), esiste una matrice esplicitamente determinata, comp (s), la matrice complementare da S, che controlla Scomp ( s) = comp (s) s = detin. La matrice Comp (s) è la trasposizione del Comprens (in algebra lineare, la venuta di una matrice quadrata A è una matrice introdotta da uno. ..) o cofattore Matrix Di S. Questa relazione rimane vera se i coefficienti di s appartengono a un anello, poiché non è stato diviso. Possiamo quindi mettere S = Xin – A, i cui coefficienti sono i suoi t in \ mathbbs {k} e quindi abbiamo la relazione:

(Xi_n-a) \ textrm {comp} (xi_n-a) = \ det (xi_n-a) i_n = p (x) i_n. \ \ (1)

Andiamo (1), scrivendo

\ TEXTRM {Comp} (XI_N-A) = \ SUM_ {J = 0} ^ {N-1} B_J X ^ J

con b_j \ in \ mathcal {m} _n (\ mathbb {k}) e

P (x) = \ sum_ {j = 0} ^ n p_jx ^ j.

Puoi Sviluppa il prodotto (Xin – A) Comp (Xin – A):

(xi_n-a) \ textrm {comp} ( Xi_n-a) = x ^ {n} B_ {n-1} + \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} x ^ i (b_ {i-1} -ab_ {i}) -AB_0 \ \ (2),

che è identico a

\ Sum_ {j = 0} ^ n x ^ jp_ji_n. \ \ (3)

I polinomi (2) e (3) sono uguali. Pertanto,

P_ {n} i_n = b_ {n-1}, \ quad p_ii_n = b_ {i-1} - Ab_ {i}, \ quad p_0 = -ab_0

arriva un telescopio:

\ begin {alline} p (a) = \ sum_ {j = 0} ^ n a ^ j (p_ji_n) \\ = a ^ nb_ {n-1} + \ sum_ { I = 1} ^ {n-1} A ^ i (b_ {i-1} -ab_ {i}) -ab_0 \\ = \ sum_ {i = 1} ^ na ~ ib_ {i-1} - \ sum_ {I = 0} ^ {n-1} A ^ {i + 1} B_i {i + 1} B_i \\ = 0 \ end {allinea}

Le prove Non consiste in una sostituzione di X con un’equalità polinomiale, ma a un’identificazione dei loro coefficienti.

una variante

Puoi anche allineare le idee astratte.

Iniziamo introducendo un morfismo di valutazione appropriato per risolvere il problema. Tutto (tutti inteso come un insieme di ciò che esiste è spesso interpretato come il mondo o …) prima, \ mathbb {k} essere un’algebra (algebra, parola originale araba -Jabr (الجبر), è il ramo …) Commutativo su \ mathbb {k}, abbiamo un morfismo di valutazione: \ mathbb { k}} \ mathbb {k} (che invia X su A e λ su λin per qualsiasi scalare (un vero scalare è un numero indipendente dalla scelta della base scelta per esprimere il …) λ). Questo morfismo di anelli commutativi indotti (l’armatura è un organo generalmente elettromagnetico utilizzato nell’elettrotecnica responsabile per …) un morfismo di valutazione sugli anelli di matrici .

Una notazione ausiliaria sarà utile: per due matrici quadrate (n, n) annotato c = (cij ) e D = (DIJ), Nota C \ TrianGleright D La matrice con i coefficienti del traffico del termine generale cijd. Se il lettore conosce il prodotto Kronecker di due matrici, sarà in grado di notare che c \ otimes D

tranne che c \ Otimes D è una matrice (N2, N2). Le seguenti formule contengono solo due casi speciali di questa operazione: Prodotti del moduloi_n \ triangleright cper dire matrici quadrate con c sulla diagonale (chiama diagonalmente un poligono qualsiasi segmento che collega due vertici non consecutivi (no …) e da 0 altrove e un prodottoA \ triangleright i_nc ‘essendo una variante di un dove la matrice Aijin sostituisce il Coefficiente (in matematica Un coefficiente è un fattore moltiplicativo che dipende da un certo …) AIJ.

Questa valutazione effettuata, applicare il morfismo di valutazione presso la relazione:

(xi_n-a) \, \ textrm {comp} (xi_n-a) = p (x) i_n.

Otteniamo una relazione

( i_n \ triangleright aa \ triangleright i_n) \, m = i_n \ triangleright p (a) \ Qquad (*)

in cui M è una certa matrice con coefficienti in \ mathbb {k} che non avremo bisogno (il BES Le cure sono a livello dell’interazione tra l’individuo e l’ambiente. È …) per sapere qualcosa al riguardo.

Quindi abbiamo scritto una giusta formula, e abbiamo sofferto: non abbiamo fermato, la valutazione di Xin – A con una tecnica rigorosa non fornisce 0 ma A Bizarre Matrix Matrix Coefficients.

Hai bisogno di una seconda idea da concludere. Consiste nel notare che se \ mathbb {a} è un anello ed e a \ mathbbn a -module a destra, per Tutto il tutto R, S, T, T, può definire le solite formule A Matrix Prodotto:

\ MathCal {m} _ {RS} {m} _ {RS} \ volte \ mathcal {m} _ {St} (\ MathBB {A}) \ A \ MathCal {m} _ {{}

per il quale abbiamo associativity se vogliamo calcolare i prodotti a tre a tre a tre a tre a tre a tre a):

\ Mathcal {m} _ {rs} \ volte \ mathcal {m} _ {st} (\ mathbb {a}) \ volte \ mathcal {m} _ {tu} (\ mathbb {a}) \ to \ Mathcal {m} _ {ru} (e).

Applicare questa nozione a E = \ MATHBB {K} ^ N (per i puristi a E = \ Mathcal {} _ {N1} (\ MathBB {K})) Che è un modulo (incluso la moltiplicazione (moltiplicazione è una delle quattro operazioni dell’Aritmetico Elementale … ) è scritto spontaneamente a sinistra ma può essere giusto se è preferito, l’anello è commutativo) sull’anello commutativo \ ma THBB {A} = \ MathBB {K} (A), la moltiplicazione esterna è l’applicazione: \ mathcal {m} _ {n1} (\ mathbb {k}) \ Volte \ mathbb {k} (a) definito da (e, b) \ mapsto be (questo Be \, Essere il prodotto Matrix (il prodotto Matrix si riferisce al prodotto delle matrici, inizialmente chiamato la composizione ordinaria “composizione …) della matrice quadrata B \, dalla colonna Matrix E \,).

Multiplidi a sinistra la relazione (*) dal vettore (in matematica, un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale, Che consente …) linea \ begin {pmatrix} e_1 \ clotrix_n \ end {pmatrix} dove (e_1, \ ldots, e_n) si riferisce alla base canonica (in uno spazio vettoriale, una base canonica è una base che si presenta …) di \ mathbb {k} ^ n: usando il Espressione giusta in (*) Otteniamo il vettore della linea .

Se ora usiamo l’espressione sinistra in (*) e le parentesi vengono spostate dall’associatività della moltiplicazione della matrice leggermente insolita sopra descritta, è necessario calcolare il prodotto:

\ Begin {Pmatrix} E_1 \ LDOTRIX_N \ END {PMATRIX} (I_n \ TrianGleright AA \ TrianGleright I_n).

Per ogni indice j, possiamo solo vedere nota che il suo componente J-Th vale la pena: AE_J- \ Sum_ {i = 1} ^ n (a_ {ij} i_n) E_i = AE_J- \ Sum_ {i = 1} ^ na_ {ij} e_i = 0.

moltiplicando questo diritto dalla matrice innocua m e confrontando le due espressioni del prodotto, conclude che per qualsiasi indice j, p (a) ej = 0.

e così p (a) = 0.

ulteriori osservazioni sulla demo

Le prove che sono state fornite evita la sostituzione di x da una matrice in un contesto (il contesto di un evento include le circostanze e le condizioni circostanti; il …) Non commutativo, ma le manipolazioni effettuate sono ancora vicine a questa idea: l’equazione (in matematica, un’equazione è l’uguaglianza che lega quantità diverse, di solito …) nei componenti in base ai poteri Di X, uno ha moltiplicato a sinistra da AJ il componente che era in fattore XJ, e abbiamo aggiunto qualsiasi set (in teoria dei set, un set intuitivamente denota una collezione …). Infatti, è stato utilizzato l’operazione EVA definita in (5), senza supporre che sia un omomorfismo ad anello, di \ MathCal {m} _n (\ MathBB {K}) IN {m} _n (\ mathbb {k}). Funzionamento EVA è una valutazione sinistra, poiché la moltiplicazione da parte dello scalare X indeterminato viene sostituita dalla moltiplicazione a sinistra da A.

Un’altra osservazione (l’osservazione è l’azione attenta del follow-up dei fenomeni , senza disponibilità del …) è importante: la forma esatta del Polinomial Comp (Xin – A) non importa. Quindi c’è qualcosa da sfruttare qui, cosa non ha mancato di fare con i matematici.

Lascia che m sia un anello non commutativo; Si può definire una divisione euclidea (in matematica e più precisamente nell’aritmetica, la divisione euclidea …) di un polinomio P \ in m da un polinomiale Monique B. È un polinomiale il cui coefficiente del termine del grado superiore (la laurea a parole ha diversi significati, è particolarmente impiegato nei campi …) è un’unità di m, vale a dire un elemento di m che ha un inverso ( In matematica, l’opposto di un elemento X di un set con una legge di …) in M. Più in particolare, ci sono due polinomi q, r \ in m, con r di grado severamente inferiore al grado di B, come

P = BQ + R.

La dimostrazione è interamente simile a quella del caso scalare. Se B = Xin – A, il resto r è di grado 0, e quindi identico a una costante appartenenza al Mr. ma in questo caso, nel ragionamento esattamente come nella dimostrazione del teorema di Cayley-Hamilton, arriviamo alla conclusione

EVA (P) = R.

Ne consegue che EVA (P) è zero se e solo se P è divisibile a sinistra da Xin – A.

La dimostrazione del teorema Cayley -Hamilton fornisce anche altre informazioni: il polinomiale Comp (Xin – A) è il quoziente a sinistra di P (x) in Tin – A. AS P (X) in e Xin – A appartengono entrambi all’anello subordista K, la divisione (la divisione è una legge di composizione che a due numeri combina il prodotto dal primo da …) a sinistra è interamente in questo sub-ring, quindi è una divisione ordinaria. In particolare, Comp (Xin – A) Coefficienti a matrice sono combinazioni lineari di poteri da A. In altre parole, la matrice complementare di una matrice A è un polinomiale A, ciò che non è facile detrarre direttamente dalla definizione (una definizione è Un discorso che dice cos’è una cosa o cosa significa un nome. Quindi il …) di una matrice complementare. Meglio, si può esplicitamente calcolare i suoi coefficienti da quelli del caratteristico polinomio P (x), poiché è quello di creare una divisione euclidea ordinaria, e troviamo

\ TEXTRM {Comp (- A)} = \ sum_ {j = 1} ^ n p_ja ^ {j-1}.

Potremmo aver ottenuto anche questa relazione direttamente dal teorema Cayley-Hamilton, in virtù dell’identità

p_0i_n = \ det (-a) i_n = -a \ clot \ textrm {comp} (a) = \ textrm {comp} (- a) \ cdot-a.

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